Bayesiana de la compatibilidad de los incentivos para una distribución general

Question

Supongamos que hay $n$ postores y un vendedor. Postor $i$ observa un privado señal de $v_i$ de $[a,b]$. Deje $\mathcal{X} = \times_{i=1}^n[a,b]$ a Cada licitador está representada por una variable aleatoria que tiene una distribución conjunta $F(\textbf{v})$, donde $\textbf{v} = (v_1,v_2,...,v_n)$. Deje $(\textbf{Q}(\textbf{v}),\textbf{M}(\textbf{v}))$ ser el mecanismo directo, donde $\textbf{Q}(\textbf{v})$ es la regla de asignación y $\textbf{M}(\textbf{v})$ es el pago de la regla, donde la $\textbf{Q}(\textbf{v}) = (Q_1(\textbf{v}),Q_2(\textbf{v}),...,Q_n(\textbf{v}))$ e $\textbf{M}(\textbf{v}) = (M_1(\textbf{v}),M_2(\textbf{v}),...,M_n(\textbf{v}))$

Los ex-post de utilidad para postor $i$ es dado como $U_i(v_i) = v_iQ_i(v_i,v_{-i}) - M_i(v_i,v_{-i})$. A partir de esto, podemos averiguar la utilidad esperada de la función como $$u_i(v_i) = \int_{\mathcal{X}_{-i}}(v_iQ_i(v_i,v_{-i}) - M_i(v_i,v_{-i}))\,f(v_{-i}|v_i)dv_{-i}$$ Writing $\int_{\mathcal{X}_{-i}}Q_i(v_i,v_{-i})f(v_{-i}|v_i)dv_{-i} = q_i(v_i)$ and $\int_{\mathcal{X}_{-i}}M_i(v_i,v_{-i})f(v_{-i}|v_i)dv_{-i} = m_i(v_i)$, the expected utility function can be re-written as $u_i(v_i) = v_iq(v_i)-m_i(v_i)$. $F(\textbf{v})$ puede ser cualquier distribución conjunta,yo.e, no es necesario que la distribución conjunta puede ser escrito como el producto de las distribuciones marginales.

Compatibilidad de los incentivos indica ahora que $u_i(v_i) \equiv v_iq(v_i)-m_i(v_i) \geq u_i(v_i^{'}) \equiv v_iq(v_i^{'})-m_i(v_i^{'})$. A partir de aquí, tenemos que

\begin{equation} \begin{split} u_i(v_i) & \geq v_iq(v_i^{'})-m_i(v_i^{'})\\ &=v_iq(v_i^{'})-m_i(v_i^{'}) + v_i^{'}q(v_i^{'}) - v_i^{'}q(v_i^{'}) \\ &= (v_i - v_i^{'})q(v_i^{'}) + (v_i^{'}q(v_i^{'})-m_i(v_i^{'}))\\ &= (v_i - v_i^{'})q(v_i^{'}) + u_i(v_i^{'}), \,\,\, or, \\ u_i(v_i)-u_i(v_i^{'}) & \geq (v_i - v_i^{'})q(v_i^{'})\,\,\,\,\,\,\,\, -(1) \end{split} \end{equation} Del mismo modo, podemos obtener $$u_i(v_i^{'})-u_i(v_i) \geq (v_i^{'} - v_i)q(v_i)\,\,\,\,\,\,\,\, -(2)$$ De $(1)$ e $(2)$, obtenemos que $$(v_i - v_i^{'})q(v_i^{'}) \leq u_i(v_i)-u_i(v_i^{'}) \leq (v_i - v_i^{'})q(v_i)$$

Dada la expresión anterior, es posible escribir la utilidad esperada de la función como $$u_i(v_i) = u_i(a) + \int_a^{v_i}q_i(t)\, dt,$$ for any distribution. Specifically, I know that this holds true for the IPV case. So, my question is that is it possible to write the utility function as the integral of $q_i(.)$ sin el supuesto de independencia?

Answer 1

Su reformulación es ciertamente correcta de los valores independientes.

Sin embargo, si el valor de $v_i$ lleva información acerca de la $v_{-i}$, no se puede escribir la compatibilidad de los incentivos como eso. Para un valor independiente dibuja, la probabilidad de ganar y el pago se espera en el mecanismo directo sólo depende de tu informó tipo de $v'_i$, no en el verdadero tipo de $v_i$. Esa es la razón por la que usted puede escribir $$u_i(v_i) \geq u_i(v_i^{'}) = v_iq(v_i^{'})-m_i(v_i^{'})$$ en lugar de $\widetilde u_i (v_i^{'},v_i) = v_iq(v_i^{'},v_i)-m_i(v_i^{'},v_i)$. Es decir, no puede formular su utilidad esperada como esta. Si esta era la utilidad esperada, también se podría formular la espera de la transferencia en una manera similar, y derivar de ingresos de equivalencia resultado, pero los ingresos de equivalencia requiere de valores independientes.