Funciones características de las opciones sobre futuros

Question

Utilizando la simple descomposición delta-probabilidad, el precio de las opciones de compra europeas de un activo que no paga dividendos puede calcularse como

\begin{equation} C(T,K) = {S_0}{\rm{ }}{\Pi _1} - {e^{ - rT}}K{\rm{ }}{\Pi _2}, \end{equation}

con

\begin{equation} {\Pi _1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi }\int_0^\infty {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{{e^{ - iw\ln (K)}}{\psi _{\ln {S_T}}}(w - i)}}{{iw{\psi _{\ln {S_T}}}( - i)}}} \right]} \;dw, \end{equation}

\begin{equation}\label{pi2} {\Pi _2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi }\int_0^\infty {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{{e^{ - iw\ln (K)}}{\psi _{\ln {S_T}}}(w)}}{{iw}}} \right]} \;dw, \end{equation}

y donde ${\psi _{\ln {S_T}}}$ es la función característica del precio del logaritmo de los activos. Por ejemplo, para los modelos Heston y Variance Gamma, los correspondientes $\psi^{H}_{\ln {S_T}}$ y $\psi^{VG}_{\ln {S_T}}$ están dadas por:

• Varianza Gamma

\begin{equation} \psi _{\ln ({S_t})}^{VG}(w) = {\left( {\frac{1}{{1 - i\theta vw + ({\sigma ^2}v/2){w^2}}}} \right)^{t/v}} \end{equation}

• Heston

\begin{equation} \psi_{\ln(S_t)}^{H} (w) = e^{ C(t,w) \overline{V}+ D(t,w) V_0 +iw \ln(S_0 e^{rt})}, \end{equation} donde \begin{eqnarray*} C(t,w) &=& a \left[ r_{-} \cdot t - \frac{2}{\eta^2} \ln \left( \frac{1-g e^{-ht}}{1-g} \right) \right], \\ D(t,w) &=& r_{-} \frac{1-e^{-ht}}{1-g e^{-ht}}, \\ \alpha &=& - \frac{w^2}{2}- \frac{iw}{2}, \quad \beta = a - \rho \eta i w , \quad \gamma = \frac{\eta^2}{^2}, \\ r_{\pm} &=& \frac{ \beta \pm h}{\eta^2}, \quad h= \sqrt{ \beta^2- 4 \alpha \gamma}, \quad g= \frac{r_{-}}{r_{+}}. \end{eqnarray*}

Sin embargo, estas ecuaciones están pensadas para las opciones sobre los precios al contado. Si me interesaran las opciones sobre futuros, ¿qué modificaciones habría que hacer en las fórmulas anteriores? (porque no es tan sencillo como utilizar simplemente $F_0$ en lugar de $S_0$ y eliminar los efectos de $r$ )

Answer 1

En general estoy de acuerdo con el comentario de Quantuple.

Discuto explícitamente el caso del modelo gamma de varianza, aunque la mayor parte de esto también se aplica a Heston. En primer lugar, observe que en el caso del modelo gamma de varianza, la función característica que presentó no es la del precio logarítmico de las acciones bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo. Dejemos que $X$ sea un proceso gamma de varianza como en Madan et al. (1998). La función característica de $X_t$ es

\begin{equation} \phi_{X_t}(\omega) = \left( 1 - \mathrm{i} \theta \nu \omega + \frac{1}{2} \sigma^2 \nu \omega^2 \right)^{-t / v}; \end{equation}

véase la ecuación (7) en el documento original (nótese que originalmente había un error tipográfico en su pregunta). Ahora buscamos un término de deriva $\gamma$ , de manera que el proceso

\begin{equation} Y_t = \exp \left\{ \gamma t + X_t \right\} \end{equation}

es una martingala. Usted encuentra que

\begin{equation} \gamma = -\ln \left( \phi_{X_t}(-\mathrm{i}) \right). \end{equation}

Su modelo para las acciones y los precios a plazo, respectivamente, es entonces

\begin{eqnarray} S_t & = & S_0 \exp \left\{ (r + \gamma) t + X_t \right\}\\ F_t(T) & = & F_0(T) \exp \left\{ \gamma t + X_t \right\} \end{eqnarray}

con funciones características

\begin{eqnarray} \phi_{\ln \left( S_t \right)}(\omega) & = & \exp \left\{ \mathrm{i} \left( \ln \left( S_0 \right) + r + \gamma \right) \omega t \right\} \phi_{X_t}(\omega)\\ \phi_{\ln \left( F_t(T) \right)}(\omega) & = & \exp \left\{ \mathrm{i} \left( \ln \left( F_0(T) \right) + \gamma \right) \omega t \right\} \phi_{X_t}(\omega) \end{eqnarray}

Ahora puede reutilizar sus expresiones generales para $\Pi_1$ y $\Pi_2$ en términos de la función característica adecuada, ya que no son más que las probabilidades de ejercicio correspondientes bajo la medida respectiva. Su fórmula de fijación de precios se convierte entonces en

\begin{equation} C_0 = e^{-r T} \left( F_0(T) \Pi_1 - K \Pi_2 \right). \end{equation}

Si quiere convencerse de que esto es correcto, puede seguir los pasos detallados que se dan, por ejemplo, en Schmelzle (2010).

Referencias

Madan, Dilip B, Peter P. Carr y Eric C. Chang (1998) "The Variance Gamma Process and Option Pricing", European Finance Review, Vol. 2, pp. 79-105

Schmelzle, Martin (2010) "Option Pricing Formulae Using Fourier Transform: Theory and Application", informe técnico