Cómo derivar Negro de la fórmula para la valoración de una opción en un futuro?

Question

Tengo una pregunta acerca de 1976 Negro Modelo y Bachelier modelo.

Yo sé que un movimiento browniano geométrico en la medida P $dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t} dW_{t}^{P}$ para un precio de la acción $S_{t}$ cables (después de un cambio de medida) para la fórmula Black-Scholes para una Llamada:

$$C= S_{0} N(d_{1}) − Ke^{rT} N(d_{2})$$.

Donde $d_{1} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r+\frac{1}{2}\sigma^{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$ y $d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{T}$

En realidad yo no sé cómo es posible obtener el famoso negro fórmula en un contrato forward:

$$C= e^{−rT}(F N(d_{1}) − KN(d_{2}))$$.

donde ahora $d_{1} = \frac{ln(\frac{F}{K})+\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}}$ y $d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{T}$

Debo simplemente inserte $F(0,T)=S_{0}e^{rT}$ en el primer BS fórmula para obtener la segunda?

Yo estoy pidiendo esto porque he tratado de derivar el BS leche de fórmula con una media aritmética de movimiento browniano como $dS_{t}=\mu dt+\sigma dW_{t}^{P}$, y me sale:

$$C= S_{0} N(d) + e^{−rT}[v n(d)-K N(d)]$$.

donde $d=\frac{S_{0}e^{rT}-K}{v}$ y $v=e^{rT}\sigma\sqrt{\frac{1-e^{−2rT}}{2r}}$ y recordando que $N(d)$ y $n(d)$ son el CDF y PDF.

pero la anterior de sustitución de $F(0,T)=S_{0}e^{rT}$ no parece conducir a la conocida resultado $C= e^{−rT}[(F-K)N(d)-\sigma\sqrt{T}n(d)]$

donde ahora $d=\frac{F-K}{\sigma\sqrt{T}}$

Creo que podría llegar a las ecuaciones en adelante, tanto en el movimiento browniano geométrico y aritmético movimiento browniano utilizando las ecuaciones

$dF=F\sigma dW_{t}^{Q}$ y $dF=\sigma dW_{t}^{Q}$, pero no sé cómo justificar el uso de ellos.

Answer 1

Opción europea sobre el futuro de

A precio de la Opción Europea en el Futuro, sólo tienes que sustituir $S_0$ con $Fe^{rT}$ en su original BS fórmula o puede utilizar de riesgo enfoque neutral. Ambos conducen a la misma fórmula de Valoración.

Opción americana en el futuro

El procedimiento anterior no puede ser utilizado para el precio de la opción Americana en el futuro. En un papel, La valoración de las opciones sobre contratos de futuros por Ramaswamy, declaró que

No se conoce ninguna solución analítica para la valoración de la opción Americana sobre contrato de futuros.

Los autores utilizan implícito el método de diferencias finitas para el precio de la opción Americana sobre contrato de futuros.

---

Edit: Derivación de precio de la opción Europea sobre el futuro de contrato

Bajo riesgo neutral medida, el futuro precio de $F_t$ satisfacer siguientes SDE: $$dF_t = \sigma F_t dW_t$$ donde, $W_t$ es un proceso de Wiener. Se puede demostrar fácilmente que: $$F_T|F_t= F_t e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t) + \sigma (W_T - W_t)} $$ $$F_T|F_t \sim logN \left( ln(F_t) - \frac{1}{2}\sigma^2 (T-t), \sigma^2(T-t)\right) $$

El precio de la opción sobre el futuro de contrato $(C_t)$ bajo riesgo neutral medida es: $$C_t = e^{-r(T-t)}E_\mathbb{Q} [(F_T - K)^+]$$

Usted puede fácilmente resolver la expresión anterior para obtener el precio de la opción escrito en el futuro. La distribución de $F_T$ es muy similar a $S_T$ (ver esta respuesta). Si reemplaza $$ln(F_t) =ln(S_t) + r(T-t) $$, a continuación, obtendrá la misma distribución de $S_T$ como bajo riesgo neutral medida. Esta es la razón, para obtener el precio de la opción en el futuro, vamos a reemplazar $S_t$ con $F_t e^{-r(T-t)}$ en BS modelo de precio de la opción call Europea.

Answer 2

Aquí está una manera simple para obtener el precio de la llamada en los delanteros precio usando riesgo neutral de precios.

Supongamos que tenemos una call Europea que paga a $t = T$, $(a(T,T^*) - K)^+$, donde $T^* \geq T$. Suponga que las tasas de interés son constantes y están representados por "$r$". Deje que $c^{Para}(t, s)$ es el precio de la llamada a donde $S(t) = s$.

Entonces, si la acción no paga dividendos:

$c^{Para}(t,s) = \widetilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}(a(T,T^*) - K)^+|S(t) = s]$, La replicación se puede demostrar, $A(T,T^*) = S(T)e^{i(T* - T)}$, y
$c^{Para}(t,s) = \widetilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}(S(T)e^{i(T* - T)} - K)^+|S(t) = s]$

Usted debe inmediatamente aviso ya que las tasas de interés son constantes, y por lo tanto determinista, podemos tirar de la "$e^{i(T^*-T)}$" plazo de la espera:

$c^{Para}(t,s) = e^{i(T* - T)}\widetilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}(S(T) - e^{-r(T* - T)}K)^+|S(t) = s]$

Así esta ahora es proporcional a la de Black Scholes precio call con strike $X = e^{-r(T* - T)}K$

$c^{Para}(t,s) = e^{i(T* - T)}c^{B. S.}(t,s | X = e^{i(T* - T)K}$) $c^{Para}(t,s) = e^{i(T^* - T)}[SN(d+) - e^{-r(T-t)}e^{-r(T* - T)}KN(d-)]$ $c^{Para}(t,s) = e^{i(T^* - T)}[SN(d+) - e^{-r(T* - t)}KN(d-)]$
$c^{Para}(t,s) = e^{-r(T - t)}(FN(d+) - KN(d-))$, donde $F = E^{i(T^* - t)}$

también:
$d_{\pm} = \frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}[ln(\frac{S}{K}) + (r \pm \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)]$

Este es el "famoso negro fórmula en un contrato a futuro". Espero que esto ayude!

Por favor, tenga en cuenta que el precio a plazo y el precio del contrato a plazo no son los mismos. El precio del contrato a plazo en el tiempo 0 es 0, pero se puede cambiar, el precio a plazo es el precio que usted se compromete a pagar al momento de la entrega.

Si tienes curiosidad de lo que sería si se tratara de una llamada en el precio de los futuros en lugar de una llamada en el precio a futuro, puedo reclamar si el precio del activo no está correlacionada con la tasa de interés, entonces son la misma, de otra manera no sería arbitraje (bajo los supuestos de no riesgo de contraparte, etc.). Os animo a probar y mostrar esto.

(P. S. A los anteriores comentaristas respuesta sobre la existencia de ninguna fórmula para una opción Americana en el precio a futuro, esto no nos impide el uso de monte carlo!)