ARMA momentos de prueba

Question

Considere la posibilidad de un estándar de ARMA(1,1) de proceso tales como

$$x_t - \beta x_{t-1} = \theta u_{t-1} + u_t$$

donde $u_t$ es yo.yo.d. $u_t \sim N(0,\sigma^2)$. Sé que la forma de obtener la media y la varianza con el estado estacionario ($|\beta| < 1$), pero ¿cómo puedo derivar media y la varianza en forma general para todos los valores de $\beta$? Esto significa sin estacionaria o débil dependencia de ARMA(1,1) proceso.

Gracias

Answer 1

Para la primera, donde $|\beta| < 1.0$, se puede escribir con el lag del operador.

$x_t (1 - \beta L) = (1 + \theta L) u_t $

$X_t = \frac{(1 + \theta L) u_t}{(1- \beta L)} $

Desde $|\beta| < 1.0 $, esto es una suma infinita que converge:

$X_t = \sum_{i=0}^\infty \beta^{i}( 1 + \theta L) u_{t-i}$

El $u_{t}$ son independientes y normal con media cero y varianza $\sigma^2$ , y así tener una convergencia de infinita suma de variables aleatorias iid así que usted debe ser capaz de calcular la media y la varianza. Dejo como ejercicio para el lector.

No estoy seguro de si la segunda parte es posible porque la serie no puede converger en ese caso porque $X_t$ es no estacionaria. Esperemos que alguien te pueda decir algo acerca de esa parte.