Voy a descomponer el gran pregunta en pequeñas preguntas y responderlas en (esperemos) términos simples.
1. ¿Qué se entiende por riesgo neutral medida?
Esta es la forma en que yo entiendo el riesgo-neutral medida (comúnmente denotado por $\mathbb{Q}$): es la probabilidad de medir en virtud de la cual el valor actual de todos los activos financieros en un momento, decir $t$, son iguales a la futura rentabilidad del activo, descontados a la tasa libre de riesgo, $r$. Es utilizado en gran medida en los precios de los derivados financieros debido al Teorema Fundamental de la valuación de Activos (véase: Wikipedia).
Este teorema implica que en un mercado completo (es decir, un mercado que permite la cobertura de los riesgos inherentes a cualquier estrategia de inversión), un derivado financiero, el precio es el descuento del valor esperado de la futura rentabilidad en $\mathbb{Q}$.
Es bien sabido que en el caso de un movimiento Browniano geométrico modelo de un único riesgo-neutral medida existe. Sin embargo, la introducción de saltos, como en Merton 1976 papel, destruye esta noción de la integridad y de manera que no tienen un único riesgo-neutral medida $\mathbb{Q}$.
Por último, el riesgo-neutral fórmula de fijación de precios de una call Europea en tiempo de $t$ con los parámetros mencionados es
$$C = C(t, S_t)=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[e^{-rT}(S_t-K)^+|\mathcal{F}_t],$$
donde por ahora sólo leer $\mathcal{F}_t$ ya que toda la información conocida en el momento $t$.
2. ¿Cuál es el precio de una call Europea en Merton modelo?
Una forma cerrada de solución para el Europeo de opciones de bajo Merton salto-modelo de difusión que existe. Deje $C_{BS}$ denotar el precio de la convocatoria en el marco del modelo Black-Scholes. Quisiera $C_{JD}$, su valor bajo Merton salto-modelo de difusión, donde su salto tamaño sigue un registro de la distribución normal con un promedio de saltar el tamaño de la $m$ y saltar tamaño de la volatilidad de los $\nu$. La fórmula para $C_{JD}$ puede ser escrita como:
$$C_{JD}(S, K, \sigma, r, T, \lambda, m, \nu)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\exp{(-m\lambda T)(m\lambda T)^k}}{k!}C_{BS}(S, K, \sigma_k, r_k, T),$$
donde $\sigma_k = \sqrt{\sigma^2 + k\nu^2/T}$ e $r_k = r - \lambda(m-1)+k\log(m)/T$.
Cada término de la serie infinita corresponde a cada salto de frecuencia escenario.
3. ¿Cómo podemos simular Merton salto-modelo de difusión en una computadora?
Esta es, posiblemente, la más amplia cuestión de todos ellos y, (me corrigen los usuarios si estoy equivocado) depende de una variedad de factores. En mi opinión, la manera más sencilla de hacerlo es la siguiente (no voy a entrar en mucho detalle aquí):
yo. Obtener de Euler discretisation de Merton salto-modelo de difusión;
ii. Obtener sus parámetros (un tema importante en su propio derecho);
iii. Generar tres conjuntos independientes de números aleatorios correspondientes a las tres variables aleatorias en su discretisation esquema;
iv. Obtener los valores para la simulación de valores de ruta de acceso el uso de estos;
iv. El uso de Monte Carlo de integración para obtener el precio de la opción call.
Espero que esto ayude y cualquier excusa los errores que he cometido a lo largo de la manera.
Gracias, Vladimir
Extra: Aquí una tesis y el libro que proporcionan gran introducciones (y más) a este tema.
