¿cómo podemos saber que el rendimiento residual no estará correlacionado con el rendimiento del mercado?

Question

Estaba leyendo que si conocemos la beta de una cartera podemos descomponer el exceso de rentabilidad de esa cartera en un componente de mercado y un componente residual.

 r_p = beta_p * r_m + e_p

 r_p - portfolio excess return
 r_m - market return
 e_p - residual return
 beta_p - portfolio beta

A continuación, dice que la rentabilidad residual (e_p) no estará correlacionada con la rentabilidad del mercado (r_m), por lo que la varianza de la cartera es

  var_p = beta_p^2 * var_m + var_p_residual

  var_p - variance of portfolio
  beta_p^2 - beta of portfolio squared
  var_m - variance of market
  var_p_residual - variance of portfolio residual

Así que mi pregunta es ¿cómo podemos saber que la rentabilidad residual no estará correlacionada con la rentabilidad del mercado?

He encontrado esto página web que cerca de la parte superior tiene una sección titulada La suposición clave.

Consideremos, por ejemplo, un caso en el que la rentabilidad residual está correlacionada con el factor 1. Ajustando adecuadamente la exposición al factor (bi1), la correlación del residuo con el factor puede hacerse igual a cero.

No estoy seguro de si esto está relacionado con mi pregunta o no, pero sigo sin entenderlo tampoco

Answer 1

Ignoremos el tipo sin riesgo para simplificar la presentación. Si tiene series de rendimientos (históricos o simulados) $r_i$ para la cartera y $r_i^M$ para el mercado, entonces la beta es la beta de la regresión OLS: $$ \beta = cov(r_i,r_i^M)/var(r_i^M). $$

Entonces, si escribe $r_i = \alpha + \beta r_i^M + \epsilon_i$ por otro lado

$$ \epsilon_i = r_i - ( \alpha + \beta r_i^M). $$ A continuación, la covarianza de estos erros con el mercado se da de la siguiente manera: $$ cov(\epsilon_i, r_i^M) = cov(r_i - ( \alpha + \beta r_i^M),r_i^M) $$ y como $cov(\alpha,r_i^M) = 0$ ( $\alpha$ es una constante) obtenemos $$ cov(r_i - ( \alpha + \beta r_i^M),r_i^M) = \\ cov(r_i,r_i^M) - \beta cov(r_i^M,r_i^M) = cov(r_i,r_i^M) - cov(r_i,r_i^M)/var(r_i^M) * var(r_i^M) =0, $$ como $cov(r_i^M,r_i^M) = var(r_i^M)$ .

En un sentido geométrico, Beta indica la proyección sobre el espacio que abarca el mercado. El residuo es ortogonal por construcción.