Derivación de la ecuación de precios de los bonos cupón cero

Question

Estoy tratando de entender cómo en el artículo de Chawla que he enlazado más abajo, cómo obtiene la ecuación (2.5) para la ecuación de precios de los bonos de cupón cero?

La ecuación es:

$\frac{\partial B}{\partial t} + \frac{1}{2} (\alpha r - \beta) \frac{\partial^{2} B}{\partial r^{2}} + (\eta - \gamma r) \frac{\partial B}{\partial r} - rB = 0 $

Dónde está el precio del bono:

$B(t;T) = B(T;T) e^{- \int_{t}^{T} r(s) ds} $

Supongo que utiliza el lema de Ito para conseguirlo, pero ¿cómo lo aplica?

La ecuación también se parece a la ecuación de Black-Scholes, ¿hay alguna relación?

Chawla, 2010

Answer 1

Algunos términos no se explican en la captura de pantalla restringida proporcionada como $\beta$ y $\gamma$ Sin embargo, a partir de Lo que veo documentado, mi sospecha es que están utilizando una expansión de Taylor (2º orden) para representar la variación genérica de B tras un cambio en r y t (pista: efectivamente suponen que B es diferenciable al menos una vez con respecto a t). También está claro que suponen que B es también al menos dos veces diferenciable con respecto a r. Así que están representando el nuevo precio genérico después de un cambio en r y t como la suma del antiguo precio y el cambio, donde el cambio se aproxima mediante el uso de la expansión de Taylor (que a grandes rasgos utiliza las derivadas de la función por el cambio en las respectivas variables). En eso es similar a la Taylor utilizada en BS. Está bastante claro en las fórmulas aunque, como dije al principio, no veo explicados algunos términos, así que sólo puedo darte una intuición.

Para otros ejemplos de uso de la expansión de Taylor Se busca la explicación de la expansión de la serie de Taylor (libro Volatility Trading) y http://kfoster.ccny.cuny.edu/classes/spring2010/eco275/lecturenotes7.html