Expansión en series de Taylor (Volatilidad de la cartera de Negociación) explicación buscado

Question

Actualmente estoy leyendo la Volatilidad de Comercio, acabo de empezar, pero estoy tratando de entender una "derivación a partir de primeros principios" de la BSM modelo de fijación de precios.

Entiendo cómo el valor de una larga llamada ($C$) y delta-cubiertas posición corta ($\Delta$ S) en el subyacente está dada por:

$$C - \Delta S_t$$

donde

• $C$ es el valor de la opción call larga
• $S_t$ es el precio de contado del subyacente en el momento $t$
• $\Delta$ es el hedge ratio.

En la página 9, también entiendo que el cambio en el valor de dicha cartera, como la subyacente se mueve desde $S_{t}$ a $S_{t+1}$ está dada por:

(1.2)

$$C(S_{t+1}) - C(S_t) -\Delta(S_{t+1} - S_t) + r(C-\Delta S_t)$$

donde el último término es el dinero ganado de la reinversión neta recibido los fondos obtenidos en el establecimiento de la posición a una tasa de $r$.

El cambio en el valor de la opción se obtiene a través de una de segundo orden en series de Taylor de aproximación:

(1.3)

$$\Delta(S_{t+1} - S_t) + \frac{1}{2}(S_{t+1} - S_t)^2\frac{\partial^2C}{\partial{S}^2} + \theta \Delta(S_{t+1}-S_t) + r(C- \Delta S_t)$$

donde $\theta$ es el tiempo de decaimiento.

No veo cómo el autor se mueve de la ecuación 1.2 a la ecuación 1.3, ya que no está claro (al menos para mí) ¿qué función $f(x)$ es la aproximación en 1.3

Agradecería si alguien podría explicar cómo el autor hace el salto de la ecuación 1.2 a la aproximación de Taylor (1.3) en la página 9.

Answer 1

Él es la aproximación de $C(S_{t+1})$ de alrededor de $t$:

$$C(S_{t+1})=C(S_{t}) + \frac{\partial C(S_{t})}{\partial S_{t}}(S_{t+1}-S_{t})+\frac{(S_{t+1}-S_t)2}{2}\frac{\partial^{2}C(S_{t})}{\partial S_{t}^{2}} + ...$$

Además, él toma el valor de tiempo de $C(S_t)$ en cuenta (y yo que busque sólo en el momento en que la contribución de aquí):

$$C(S_{t+1})-C(S_t)=\Delta t\frac{\partial C}{\partial t}+...=\Delta t\cdot\theta+..$$

Allí, la primera ecuación es simplemente la derivada de la opción con respecto a t. Generalmente, $\theta$ es la pérdida del valor de la opción en un día, así que solo es cuestión de normalización aquí. Si pones todo junto, se obtiene el paso que está buscando.