Actualmente estoy leyendo la Volatilidad de Comercio, acabo de empezar, pero estoy tratando de entender una "derivación a partir de primeros principios" de la BSM modelo de fijación de precios.
Entiendo cómo el valor de una larga llamada ($C$) y delta-cubiertas posición corta ($\Delta$ S) en el subyacente está dada por:
$$ C - \Delta S_t $$
donde
- $C$ es el valor de la opción call larga
- $S_t$ es el precio de contado del subyacente en el momento $t$
- $\Delta$ es el hedge ratio.
En la página 9, también entiendo que el cambio en el valor de dicha cartera, como la subyacente se mueve desde $S_{t}$ a $S_{t+1}$ está dada por:
(1.2)
$$ C(S_{t+1}) - C(S_t) -\Delta(S_{t+1} - S_t) + r(C-\Delta S_t) $$
donde el último término es el dinero ganado de la reinversión neta recibido los fondos obtenidos en el establecimiento de la posición a una tasa de $r$.
El cambio en el valor de la opción se obtiene a través de una de segundo orden en series de Taylor de aproximación:
(1.3)
$$ \Delta(S_{t+1} - S_t) + \frac{1}{2}(S_{t+1} - S_t)^2\frac{\partial^2C}{\partial{S}^2} + \theta \Delta(S_{t+1}-S_t) + r(C- \Delta S_t) $$
donde $\theta$ es el tiempo de decaimiento.
No veo cómo el autor se mueve de la ecuación 1.2 a la ecuación 1.3, ya que no está claro (al menos para mí) ¿qué función $f(x)$ es la aproximación en 1.3
Agradecería si alguien podría explicar cómo el autor hace el salto de la ecuación 1.2 a la aproximación de Taylor (1.3) en la página 9.
