La expectativa y la Descomposición de Cholesky

Question

Suponga que el vector aleatorio $(X,Y)$ es (bivariado) se distribuye normalmente. Mostrar que $$ \Bbb E[X|Y=y]= \Bbb E[X]+ \frac {Cov[X,Y]}{Var[Y]}(y-\Bbb E[Y])$$

También, $$ Var[X|Y=y]= (1-\rho^2) Var[X]$$

Sé que debería ser la conversión de estas variables en normal estándar y, a continuación, utilizando la descomposición de Cholesky para llegar independiente de la normal estándar, estoy bastante cerca de la respuesta, sino que, su no ordenada. Yo podría haber hecho algo malo, ¿alguien por favor colocar el primer paso para convertir X&Y estándar normal?? Muchas gracias

Answer 1

Por la descomposición de Cholesky, se puede expresar la normal de variables aleatorias $X$ e $Y$ en forma \begin{align*} Y &= E(Y) + \sqrt{Var(Y)}\, \xi,\\ X &= E(X) + \sqrt{Var(X)}\left(\rho \xi+\sqrt{1-\rho^2} \eta\right), \end{align*} donde $\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$ es la correlación, $\xi$ e $\eta$ son dos independientes aleatoria normal estándar de las variables.

A continuación, \begin{align*} E(X \mid Y) &= E\left(E(X) + \sqrt{Var(X)}\left(\rho \xi+\sqrt{1-\rho^2} \eta\right) \mid \xi \right)\\ &=E(X) + \rho \sqrt{Var(X)}\xi\\ &=E(X) + \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(Y)}}\xi\\ &=E(X) + \frac{Cov(X, Y)}{Var(Y)}\big(Y-E(Y) \big). \end{align*} El cálculo de $Var(X\mid Y)$ es similar, específicamente, \begin{align*} Var(X \mid Y) &=E\left((X-E(X\mid Y))^2\mid Y \right)\\ &=E\left( (X-E(X\mid Y))^2\mid \xi\right)\\ &=E\left(Var(X)(1-\rho^2) \eta^2 \mid \xi\right)\\ &=E\left(Var(X)(1-\rho^2) \eta^2\right)\\ &=Var(X)(1-\rho^2). \end{align*}