Cambio en el precio de la llamada Valor a medida que pasa el tiempo

Question

En varios documentos y discusiones aquí he visto que en el sistema de cobertura del delta la gente computa la Cambio en el valor/precio de la opción de compra por: $$ dC_t = \Theta_t dt + \Delta_t dS + \frac {1}{2} \Gamma_t dS^2 $$ asumiendo una volatilidad constante. A medida que el tomo pasa (y el punto se mantiene igual) la opción va perdiendo valor por lo que la primera parte tiene sentido (theta es negativo en el modelo BS).

La segunda parte también tiene sentido: cuando la mancha cambia por $dS$ ( relativo pequeños cambios) el valor de la opción cambia por $ \Delta $ .

Mi pregunta: ¿Por qué incluimos la última parte? ¿Es porque queremos compensar la no linealidad del delta? Si ese es el caso; ¿por qué sólo incluir la segunda derivada y por qué multiplicarla por 1/2?

Answer 1

Desde el punto de vista matemático es una consecuencia del Lemma de Ito. La intuición es que $dS^2$ (o mejor dicho $<dS,dS>$ - la variación cuadrática de $S$ ) es del mismo orden de magnitud que $dt$ para que cuando se haga un Ampliación de Taylor no se puede despreciar, pero sí los términos de orden superior. En el caso browniano si $dS = \alpha dt + \sigma dW$ entonces $<dS,dS> = \sigma^2 dt$ . Una vez más, se puede obtener cierta intuición observando que un paseo aleatorio $\pm \sqrt{dt}$ con probabilidades $1/2$ y $1/2$ es una aproximación del movimiento browniano, y que $(\pm \sqrt{dt})^2 = dt$ .