Cumulants de la varianza gamma, con estocástico de la llegada (VGSA) modelo

Question

La función característica de la VGSA modelo se define como una parametrización de la función característica de la CIR (Cox-Ingersol-Ross significa revertir el proceso) tiempo de cambio:

$ \mathbb{E}e^{iuY(t)} = \varphi_{VGSA}(u,t,y(0),\kappa, \eta, \lambda) = A(u,t,\kappa,\eta,\lambda)e^{B(u,t,\kappa,\lambda)y(0)} $

Donde \begin{align*} A(u,t,\kappa,\eta,\lambda) &= \frac{\exp\Big( \frac{\kappa^2\eta t}{\lambda^2} \Big) }{\Big( \cosh(\gamma t/2) + \frac{\kappa}{\gamma}\sinh(\gamma t/2) \Big)^{\frac{2\kappa\eta}{\lambda^2}}}\\ B(u,t,\kappa,\lambda) &= \frac{2iu}{\kappa + \gamma\coth(\gamma t/2)}\\ \gamma &= \sqrt{\kappa^2-2\lambda^2iu} \end{align*}

El VGSA función característica está dada por: $ \mathbb{E}e^{iuZ_{VGSA}(t)} = \varphi_{VGSA}(-i\Psi_{VG}(u), t, \nu^{-1}, \kappa, \eta, \lambda) $

Donde $\Psi_{VG}(u)$ es el registro de la función característica de la Varianza de rayos Gamma en una unidad de tiempo:

$ \Psi_{VG}(u) = -\frac{1}{\nu}\log(1-iu\nu\theta + \sigma^2\nu u^2/2) $

El cumulant la generación de la función satisface:

$ G(w) = \ln \mathbb{E}e^{wX} = \ln(\varphi_{VGSA}(-iw)) $

Su $n$-th cumulant es el $n$-ésima derivada de la cumulant la generación de la función evaluada en cero: $ c_n = G^{(n)}(0) = \frac{-i\varphi_{VGSA}^{(n)}(0)}{\varphi_{VGSA}(0)} $

Necesito el primero, el segundo y cuarto cumulants en orden a precio VGSA el uso de la transformada de Fourier-coseno método.

¿Alguien tiene estos cumulants o saber si es que existen en la forma cerrada?

Answer 1

Recientemente me encontré con el mismo problema, aunque por diferentes activos de la dinámica. Yo suelo utilizar uno de dos métodos:

1) Diferenciación Simbólica

El uso de calcular un sistema de álgebra, tales como Mathematica o SymPy para obtener expresiones analíticas para los de orden superior cumulants. La ventaja es que usted consigue exacta expresiones sin errores de aproximación. Estos, no obstante, puede obtener muy largo y potencialmente conducir a la ineficiencia de código. El cuarto cumulant de la Heston modelo para el ejemplo que ya se extiende por la mitad de una página en 11pt.

2) Diferenciación Automática

El uso de un sistema automático de diferenciación (AD) de la biblioteca que apoya a los números complejos. En C++ por ejemplo yo uso CppAD de la MONEDA, O el proyecto. Usted hace su código de AD-listo por plantillas el tipo de datos complejo en su cumulant la generación de implementación de la función, es decir,

template<typename Type>
Type cumulantFunction(double maturity,
                      Type omega) const
{
    // your implementation
}

El ANUNCIO de la biblioteca puede entonces calcular exacto derivados de cualquier orden, sin tener que implementar explícitamente nada. Ver también este post en el blog para más detalles.

Resumen

Yo prefiero utilizar la analítica derivados para cruciales para el rendimiento de la producción de código cuando sea factible como he encontrado que estos son generalmente calculados más rápido que a través de ANUNCIOS. Para derivadas de orden superior y/o relativamente involucrados expresiones que me recurrir a la AD. También he encontrado que el ANUNCIO sirve como una gran herramienta para la unidad de pruebas codificadas a mano analíticos derivados.