Tengo $P_1 = 24$, $Q_1 = 800000$, $P_2 = 32$ y la elasticidad de los precios de $e = -8$ y la necesidad de encontrar la función $P(Q)$.
Supongo que tengo que encontrar a $Q_2$ por
$$ \frac{(Q_2-Q_1)/Q_1}{-(P_2-P_1)/P_1} = -8 \Leftrightarrow Q_2 = \frac{8800000}{3} $$
Pero ¿tiene sentido que la cantidad será mucho más altas, por un incremento de precio y por lo tanto no sigue la ley de la demanda? Sé que $e = -8$ es una alta elasticidad de los precios, pero esto es bastante extrema, creo.
El bien no es un bien giffen. Estos bienes tienen un resultado positivo en la elasticidad de la demanda. El tuyo tiene una negativa, por supuesto. Se puede producir un bien giffen en todo.
El error está en el signo negativo de que usted (y también de Thomas respuesta), asumió.
La fórmula de la elasticidad es:
$$ e_d = \frac{\Delta Q}{\Delta P}\frac{P}{Q}$$
La negatividad de la elasticidad es dado por el signo de la derivada (un incremento en el precio conduce a una caída en la cantidad demandada; al contrario en un bien Giffen).
En tu ejemplo, asumiendo como punto de partida $Q_1$ e $P_1$ (que podría alternativa de usar el punto final, o el arco de la elasticidad; ver aquí), se obtiene:
$$ -8 = \frac{Q_2 - 800,000}{12}\frac{24}{800,000}$$
Que los rendimientos de
$$Q_2 = -2,400,000$$
Este es, en efecto, una cantidad negativa. A ver por qué este es el caso, vuelva a escribir la elasticidad de la función como sigue:
$$ e_d \frac{\Delta P}{P_1} = \frac{\Delta Q}{Q_1}$$
Esto es, el porcentaje de cambio en la cantidad es equivalente al porcentaje de cambio en los precios de los tiempos de la elasticidad.
La sustitución de los números, se obtiene:
$$ -4 = \frac{\Delta Q}{Q_1}$$
Esto es, la cantidad de caídas al 400%!. Es por eso que se convierte en negativo (de 800.000 a -2,400,000).
El origen del problema es el enorme cambio en el precio (50%), junto con la enorme elasticidad de la demanda (-8), que da el cambio total en la cantidad ($50\% \times -8 = -400\%$). Una forma menos dramática combinación daría lugar a un positivo $Q_2$.
Usted tiene que la elasticidad precio es definido por:
$$\varepsilon_{d} = -\frac{\partial Q}{\partial P}\frac{P}{Q} \approx -\frac{P}{Q}\frac{\Delta Q}{\Delta P}$$
Inicialmente tenemos que $P = P_{1}$ e $Q=Q_{1}$ y después de la perturbación tenemos $\Delta P = (P_{2} - P_{1})$ e $\Delta Q = (Q_{2} - Q_{1})$, por lo tanto:
$$-\frac{P_{1}}{Q_{1}}\frac{Q_{2}-Q_{1}}{P_{2}-P_{1}}=-8 \implies Q_{2}-Q_{1}=\frac{8Q_{1}(P_{2}-P_{1})}{P_{1}}$$
Y por lo tanto:
$$ Q_{2}=Q_{1}+\frac{8Q_{1}(P_{2}-P_{1})}{P_{1}}=\frac{8800000}{3} $$
Este es tan grande, en parte debido a la elasticidad de los precios es tan grande, pero también, probablemente, a causa del error en la aproximación de diferencias finitas método a través de tales cambios importantes en $P$.
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