Factor de Recuperación de Capital para el Descuento Hiperbólico

Question

Estoy buscando una forma cerrada de recuperación del capital el factor de descuento hiperbólico se utiliza. El artículo de la Wikipedia sobre el descuento hiperbólico tiene esta fórmula para el "valor presente de una serie de igualdad de flujos anuales de efectivo en mora con descuento hyperbolically": $$ V = P \frac{\ln(1 + kd)}{k}\ , $$ pero no se incluyen las referencias bibliográficas.

Si intento suma de la serie $\sum_{t=1}^n 1/(1 + rt)$ sin embargo, WolframAlpha me da una fórmula más complicada que involucra la función digamma.

Agradecería una referencia para este CRF, si existe uno. Una derivación sería una ventaja. Gracias!

Answer 1

Voy a ampliar lo que ya he dicho en los comentarios, como una respuesta. La suma $$\sum_{t=0}^n \frac{1}{1+rt}$$ will not have a nice closed form. However what wikipedia has done is approximate this sum as an integral. The integral will just be $$\int_{t=0}^n \frac{dt}{1+rt}=\frac1r\ln(1+rt)|_0^n=\frac1r \ln(1+nr)$$ que es básicamente lo Que tienes sin multiplicar por el principio de valor, y reetiquetado de algunas variables. Ahora algo a tener en cuenta es que este va a estar fuera por un pequeño constante. Si usted observa el diagrama de abajo, hay algún error que la integral no recoger, por lo que será en realidad un poco más pequeñas. En este caso, sin embargo usted sabe que el error de área está por debajo de 1 (porque si usted se imagina, deslizando cada error de área en el primer cuadrado (puramente horizontal no va a llenar todo)

y por encima de la mitad, (dibuja una línea entre las esquinas de cada error de la zona para hacer un triángulo y cada triángulo es la mitad del área del rectángulo correspondiente, de forma que la suma de todos los triángulos es la mitad del área de la unidad de la plaza)

Así que desde que el error es entre la 1 y media, para la gran n debe ser bastante insignificante, y esta es una muy buena aproximación.