He leído la derivación de Higham de la ecuación de Black-Scholes en "An Introduction to Financial Option Valuation". El problema que tengo es que se basa en algunas suposiciones relacionadas con un modelo de activos de tiempo continuo, pero estas suposiciones no parecen completamente justificadas. Espero que alguien haya visto esta derivación (pero puede que no sea necesaria para responder a mi pregunta).
La idea es comenzar con un modelo de activos en tiempo discreto que modele el precio $S(t)$ de un activo. El modelo es \begin{equation} S(t_{i+1}) = (1+\mu \delta t + \sigma \sqrt{\delta t} Y_i)S(t_i) \end{equation} donde estamos trabajando en un intervalo de tiempo $[0,t]$ con $n$ subintervalos $[t_i, t_{i+1}]$ de longitud $\delta t$ . Aquí, $\mu$ y $\sigma$ son constantes y $Y_i$ son variables aleatorias I.I.D. con distribución N(0,1). Ahora, al pasar al modelo de tiempo continuo (que corresponde al límite $\delta t \to 0$ ), Higham escribe \begin{equation} \text{log}\left(\frac{S(t)}{S(0)} \right) = \sum_{i=1}^n \text{log} \left(1 + \mu \delta t + \sigma \sqrt{\delta t} Y_i \right) \end{equation} y luego expande el lado derecho como una serie de Taylor para calcular el valor esperado y la varianza del lado izquierdo. Apelando al teorema del límite central se puede escribir un modelo de tiempo continuo para $S(t)$ . El problema que tengo es con el $\text{log}$ en el lado derecho. Parece que el argumento puede ser negativo y por lo tanto esto no debe ser definido. ¿Cómo se puede evitar esta cuestión? Higham también afirma que la expansión en serie de Taylor es válida aunque el argumento sea una variable aleatoria. ¿Hay alguna forma de hacer rigurosa esta afirmación?
