Cálculo de la correlación entre los tipos a plazo

Question

Tengo la sensación de que esta pregunta tiene una respuesta extremadamente sencilla, pero la plantearé al grupo de todos modos.

Imaginemos que tengo datos de tasas a plazo de 3M y 6M que siguen un proceso lognormal, y que me gustaría averiguar cuál es el coeficiente de correlación entre los movimientos brownianos que definen la dinámica de cada proceso de tasas.

¿Cuál es la mejor manera de medirlo?

Answer 1

Suponiendo que se conoce la volatilidad de cada proceso, la correlación de los movimientos brownianos viene dada por el crochet.

Dejemos que $X,Y$ tal que: $$\frac{dX_t}{X_t} = \mu^X dt + \sigma^X dW^X_t $$ $$\frac{dY_t}{Y_t} = \mu^Y dt + \sigma^Y dW^Y_t $$ con $d<W^X,W^Y>_t = \rho^{XY}dt$ entonces: $$d<X,Y>_t = \sigma^X\sigma^Y \rho^{XY} dt$$ así:

$$\rho^{XY}{\sigma^X\sigma^Y}(t_n-t_0) =<X,Y>_{t_n}-<X,Y>_{t_0}\sim \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{X_{t_i}-X_{t_{i-1}}}{X_{t_{i-1}}}\frac{Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}}}{Y_{t_{i-1}}}$$