He estado leyendo un libro en donde el autor afirma que "si hay dos bienes que son siempre net sustitutos. A lo largo de una curva de indiferencia de un aumento en el precio del bien 2 conduce a menos de 2 y más del bien 1 se consume cuando la utilidad se maximiza. Cuando hay más de dos bienes, la ley de la disminución en la tasa marginal de sustitución implica que al menos uno bueno, debe ser una red sustituir a cualquier otro bien".
La primera parte se puede demostrar fácilmente mediante el uso de gráficos, y es el segundo que yo no podía demostrar matemáticamente.
Fuente de la cita que se ha unido aquí, Pg-104.
Respuesta
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learnvst
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No sé cuál es la definición de la "ley de DMR", pero creo que lo que el autor quiso que se resume en estas líneas de GTH:
Proposición 3.G.2: supongamos que $u(\cdot)$ es un continuo de la función de utilidad que representa un local nonsatiated y estrictamente convexa preferencia relación $\succsim$ definido en $\mathbb{R}^L_+$. Supongamos también que $h(\cdot, u)$ [el hicksian función de demanda] es continuamente diferenciable en $(p, u)$, y denotan su $L\times L$ derivado de la matriz [con respecto a cada una de las $p$] por $D_p h(p, u)$. Entonces
$D_p h(p, u)$ es negativo semidefinite de la matriz.
$D_p h(p, u) p = 0$
Así, 1 implica que los elementos de la diagonal principal de la matriz no son positivos, es decir, $\frac{\partial h_l (p, u)}{\partial p_l} \leq 0$ por cada $l$.
Decimos que dos bienes son sustitutos si $\frac{\partial h_l (p, u)}{\partial p_k} \geq 0$ (una variación positiva en el precio de $k$ implica un aumento en la compensación de la demanda de $l$).
Parte 2 de la proposición dice que $D_p h(p, u) p = 0$. Pero como $\frac{\partial h_l (p, u)}{\partial p_l} \leq 0$, para cada $l$ debemos tener un buen $m$ tal que $\frac{\partial h_l (p, u)}{\partial p_m} \geq 0$, lo que significa exactamente que cada bien tiene un sustituto.
