Cómo se realiza el PCA en el artículo "Modelos de Markov..."

Question

¿Puede alguien explicar con un poco de detalle cómo se realiza el ACP en el artículo "Markov Models for Commodity Futures: Theory and Practice" de Leif B. G. Andersen. No tengo claro cómo se construye la matriz de alta dimensión para Xj, concretamente, ¿cuáles son las filas y columnas de la matriz? Gracias. enlace: http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1138782

$X_j(t)$ se define como:

$X_j(t)=lnF(t,t+\delta_j)$ , $j=$ 1 mes, 2 meses,...,48 meses. Así que creo que las filas son estas 48 $X_j(t)$ variables, pero ¿cuál es el componente de la columna? Utilizando el ACP, redujo la dimensión de una matriz de 48*N a 48*2, y concluye que el número de controladores aleatorios es 2.

Answer 1

En general, el enfoque del ACP procede del siguiente modo.

Considerar los tiempos de observación históricos $t_0 < t_1 < \cdots < t_K \le0$ . Para los tiempos de bucketing $\delta_1 < \cdots \delta_n$ , dejemos que $X_j(t_k) = \ln F(t_k, t_k+\delta_j)$ . Además, dejemos que $\eta_j$ para $j=1, \ldots, n$ sea una variable aleatoria normal con un conjunto muestral $\big\{X_j(t_k)-X_j(t_{k-1}\}_{k=1}^K\big\}$ . Además $\Omega = (\rho_{i, j})_{i,j=1}^n$ sea la matriz de correlación de la muestra. Obsérvese que \begin{align*} \Omega = \Sigma \Gamma\Sigma^T, \end{align*} donde $\Gamma = diag(\gamma_1, \ldots, \gamma_n)$ es una matriz diagonal de valores propios $\gamma_i\ (i=1, \ldots, n)$ y las columnas de $\Sigma = (\omega_{i, j})_{i,j=1}^n$ contiene los vectores propios ortonormales de $\Omega$ Aquí suponemos que $\gamma_i\ge \gamma_{i+1}$ para $i=1, \ldots, n-1$ . Entonces, en la distribución, hay $n$ variables aleatorias normales independientes $\xi_i$ para $i=1, \ldots, n$ tal que \begin{align*} \left(\! \begin{array}{c} \frac{\eta_1-\mu_1}{\sigma_1}\\ \vdots\\ \frac{\eta_n-\mu_n}{\sigma_n} \end{array} \derecha) = ¡\left(\! \begin{array}{ccc} \omega_{1,1} & \cdots & \omega_{1, n}\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ \omega_{n,1} & \cdots & \omega_{n, n} \end{array} \derecha) ¡\left(\! \begin{array}{ccc} \sqrt{\gamma_1} & & \\ & \ddots & \\ & & \sqrt{\gamma_n} \end{array} \derecha) ¡\left(\! \begin{array}{c} \xi_1\\ \vdots\\ \xi_n \end{array} \derecha). \fin El enfoque PCA consiste en encontrar el entero $p$ donde $0< p \le n$ tal que \begin{align*} \frac{\sum_{i=1}^p \gamma_i}{\sum_{i=1}^n \gamma_i}\ge l, \end{align*} donde $l$ es un nivel determinado, por ejemplo, el 95%. En general, $p=2$ es suficiente. Suponemos que $p=2$ abajo.

Basándonos en el ACP, suponemos que \begin{align*} \left(\! \begin{array}{c} \frac{\eta_1-\mu_1}{\sigma_1}\\ \vdots\\ \frac{\eta_n-\mu_n}{\sigma_n} \end{array} \derecha) &\aprox \Izquierda (¡Izquierda! \begin{array}{cc} \omega_{1,1} & \omega_{1, 2}\\ \vdots & \vdots\\ \omega_{n,1} & \omega_{n, 2} \end{array} \derecha) ¡\left(\! \begin{array}{cc} \sqrt{\gamma_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\gamma_2} \end{array} \derecha) ¡\left(\! \begin{array}{c} \xi_1\\ \xi_2 \end{array} \(derecha) \\ ¡&=\left(\! \begin{array}{c} \omega_{1,1}\sqrt{\gamma_1}\xi_1 + \omega_{1,2}\sqrt{\gamma_2}\xi_2\\ \vdots\\ \omega_{n,1}\sqrt{\gamma_1}\xi_1 + \omega_{n,2}\sqrt{\gamma_2}\xi_2 \end{array} \derecha). \tag{1} \end{align*}

Motivado por $(1)$ podemos suponer que, para $i=1, \ldots, n$ , \begin{align*} d \ln F(t, t+\delta_i) &= \mu_i dt + \sigma_i^0 \left(\omega_{i, 1}\sqrt{\gamma_1} dW_t^1 + \omega_{i, 2}\sqrt{\gamma_2} dW_t^2\right)\\ &=\mu_i dt + \sigma_i^1 dW_t^1 + \sigma_i^2 dW_t^2, \end{align*} donde $\{W_t^1, t\ge 0\}$ y $\{W_t^2, t\ge 0\}$ son dos movimientos brownianos estándar independientes, o algunos otros procesos normales independientes (por ejemplo, de reversión de la media).