Inmunización de la cartera de bonos - Igualación de la duración

Question

**La pregunta está en la parte inferior**

Suponga que tiene una cartera de bonos A, B y C con las siguientes características:

(la columna "Frecuencia" es el número de cupones por año y también el número de periodos de capitalización)

Bond | Coupon Rate | Frequency      | Years to Maturity | YTM (%) | FV ($)
A    |   5.00      | quarterly      |  2                | 5.16    | 1,000
B    |   5.50      | semi-annually  |  3                | 5.40    | 1,000
C    |   6.25      | annually       |  4                | 5.90    | 1,000

A partir de la información anterior, calculo el precio y la duración de cada bono:

Bono A

CFt      = $1,000 × (5.00% ÷ 4) = $12.50
YTMt     = 0.0516 ÷ 4 = 0.0129 or 1.29%
Price    = $12.50 × [1 – ( 1.0129)^-8 ÷ 0.0129] + ($1,000 ÷ 1.0129)^-8
         = $94.44 + $902.54
         = $996.98
Duration = 7,638.9447 ÷ $996.98 ÷ 4 = 1.9155 years

Bono B

CFt      = $1,000 × (5.50% ÷ 2) = $27.50
YTMt     = 0.0540 ÷ 2 = 0.0270 or 2.70%
Price    = $27.50 × [1 – ( 1.0270)^-6 ÷ 0.0270] + ($1,000 ÷ 1.0270)^-6
         = $150.47 + $852.27
         = $1,002.74
Duration = 5,628.5639 ÷ $1,002.74 ÷ 2 = 2.8066 years

Bono C

CFt      = $1,000 × (6.25% ÷ 1) = $62.50
YTMt     = 0.0590 ÷ 1 = 0.0590 or 5.90%
Price    = $12.50 × [1 – ( 1.0590)^-4 ÷ 0.0590] + ($1,000 ÷ 1.0590)^-4
         = $217.07 + $795.09
         = $1,012.16
Duration = 3,707.4842 ÷ $1,012.16 ÷ 1 = 3.6630 years

Duración de la cartera

Bond    Duration(D)     Quantity (Q)    Bond Price (P)  V = Q × P        DP = D × V
A       1.9155              2            $  996.98      $   1,993.96    3,819.4304
B       2.8066              1            $  1,002.74    $   1,002.74    2,814.2901
C       3.6630              2            $  1,012.16    $   2,024.32    7,415.0842
                                                   Total    $ 5,021.02   14,048.8046
Portfolio Duration = 14,048.8046 ÷ $5,021.02 = 2.7980 or 2.80 years

Cartera Tipo de descuento medio ponderado

Bond    YTM/YR  Periods/YR  YTM/Period  Quantity (Q)    Bond Price (P)  V = Q × P   YTM/Period × V
A        0.0516        4    0.0129     2          $ 996.98        $  1,993.96    25.7221 
B        0.0540        2    0.0270     1          $ 1,002.74      $  1,002.74    27.0740 
C        0.0590        1    0.0590     2          $ 1,012.16      $  2,024.32    19.4349 
                                                          Total       $    5,021.02   172.2309
Weighted Average Discount Rate = 172.2309 ÷ $5,021.02 = 0.0343 or 3.43%

PREGUNTA

Ahora supongamos que un cuarto bono D, tiene un tipo de cupón del 5,25% pagado semestralmente, un vencimiento de dos años, un valor nominal de 1.000 dólares, un rendimiento del 6,25% y una duración de 1,9238 años. ¿Cómo se podría inmunizar el riesgo de tipo de interés de la cartera anterior con el bono D? Creo que tenemos que encontrar la proporción del bono D que hará que la duración total sea 0, resolviendo la ecuación de la duración de la cartera aumentada.

w × Dp + (1 – w ) × Dd = 0

where

Dp = duration of the portfolio of bonds A, B, and C
w = proportion of the portfolio in bonds A, B and C
1 – w = proportion of the portfolio in bond D
Dd = duration of bond D

Answer 1

Si he entendido bien la pregunta, usted desea cubrir completamente el riesgo de tipo de interés (definido como un desplazamiento paralelo de la curva de rendimiento). Si ese es el caso, debería utilizar la duración modificada, que es la sensibilidad al precio, en lugar de la duración de MacAulay. Suelen estar cerca en valor, pero no son exactamente lo mismo.

Afortunadamente, puede transformar fácilmente sus duraciones en duraciones modificadas:

$D_{mod} = \frac{D_{MA}}{1 + \frac{yield}{frequency}}$

Así se obtiene un vector de duraciones modificadas: $D_m = [1.8911; 2.7328; 3.4589; 1.8655]$ para los bonos A, B, C y D.

Ya que queremos inmunizarnos contra los desplazamientos paralelos:

$\Delta P \approx -P * D_{mod} * \Delta y = 0$

donde P es el valor del portolio, $\Delta P$ el cambio de valor, $D_{mod}$ la duración modificada del portolio y $\Delta y$ el cambio de rendimiento. Para inmunizar, queremos $P * D_{mod} = 0$ o, tomando $P$ como un hecho, $D_{mod} = 0$ , donde $D_{mod} = w^T * D_m$ (suma ponderada de las duraciones modificadas).

Dadas nuestras ponderaciones (valor de los bonos) $w = [1993.96; 1002.74; 2024.32; w_4]$ sólo tenemos 1 incógnita, por lo que es fácil de resolver; obtenemos $w_4 = -7243.81$ . En otras palabras, tendrías que ponerte en corto 7243,81 $worth of bond D to immunize your bond portfolio. This might be problematic, given their 1000$ valor, sin embargo.

Otra forma de verlo es que usted necesita igualar la duración modificada de sus activos (su cartera inicial) y sus pasivos (utilizando el bono D), de ahí la necesidad de ponerse en corto con el bono D (que se convierte en un pasivo). Tenga en cuenta que esto sólo (y sólo aproximadamente) protege contra los desplazamientos paralelos de la curva.

Answer 2

"Creo que tenemos que encontrar la proporción del bono D que hará que la duración global sea 0" ... al hacerlo, estará igualando la duración del bono D, porque tiene la más corta.

Para inmunizar la cartera, debe tener alguna duración de referencia que quiera igualar. Si es el de los bonos D, entonces su sugerencia es correcta.

Si me equivoco, por favor, que alguien me corrija.