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Heath-Jarrow-Morton a medida del mundo real

En el modelo HJM (marco), la deriva del delantero viene determinada por su coeficiente de difusión:

$$ \mu(t,s) = \sigma(t,s)\int_t^s \sigma(t,v)^Tdv $$

Según tengo entendido, el cambio de medida según el teorema de Grisanov para semimartingales de tiempo continuo sólo afecta a la parte de variación finita (es decir, la deriva para HJM). Por lo tanto, si empezamos con una SDE bajo una medida neutral al riesgo $Q$

$$ df(t,s) = \mu^Q(t,s)dt + \sigma(t,s)dW_t^Q $$

y el cambio a la medida del mundo real $P$ lo cambia por

$$ df(t,s) = \mu^P(t,s)dt + \sigma(t,s)dW_t^P $$

¿significa esto entonces que $\mu^Q(t,s) = \mu^P(t,s)$ ya que ambas son funciones de $\sigma(t,s)$ ?

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Su afirmación al principio de la pregunta no es correcta. Por eso tiene la "contradicción" después. Debería decir: En el modelo HJM (marco), la deriva del delantero bajo el medida neutral al riesgo Q viene determinado por su coeficiente de difusión: $$ \mu^Q(t,s) = \sigma(t,s)\int_t^s \sigma(t,v)^Tdv. $$ Esa fórmula no es una fórmula general para obtener la deriva bajo cualquier medida de probabilidad, sólo se aplica a $Q$ . Obsérvese que más adelante en la medida de avance $Q^T$ la deriva es cero y la volatilidad es términos no son cero.

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Jody Puntos 352

Como has dicho, el cambio de medida sólo afecta a la parte de variación finita, que es la deriva. No está claro por qué esto implica $\mu^Q(t,s)=\mu^P(t,s)$ . Estas son las derivas bajo las dos medidas, así que no creo que tengan que ser iguales.

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Gracias por su respuesta. La deriva bajo la medida de riesgo neutro es una función del coeficiente de difusión solamente, y si esto también es cierto para la deriva bajo la medida del mundo real (es decir, que es una función del coeficiente de difusión), entonces puesto que el coeficiente de difusión no cambia con el cambio de medida, entonces esto sugeriría que las dos derivas son las mismas. Si esto no es cierto, entonces o bien la deriva del mundo real no es una función del coeficiente de difusión o bien es una función diferente.

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No está claro cómo podemos empezar con una SDE bajo la medida de riesgo neutro y aplicar el teorema de Girsanov para cambiar a la medida real. Cómo llegamos a la deriva bajo la medida neutral al riesgo es que suponemos que la evolución de la curva a plazo tiene cierta deriva $\alpha(t,T)$ y volatilidad $\sigma(t,T)$ entonces derivamos que bajo la medida de riesgo neutral, la deriva es la que tenías arriba.

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El teorema de Girsanov esencialmente dice que si empezamos con alguna medida P con movimiento browniano W, y definimos la densidad de otra medida Q con respecto a P para que tenga una forma específica, entonces el movimiento browniano bajo Q está relacionado con W a través de una forma específica dependiente de la densidad (proceso). Cuando decimos que cambiamos de P a Q, es más bien que empezamos con P y definimos una medida Q. Por lo tanto, no está claro cómo podemos empezar con alguna medida Q y cambiar de medida a la medida real P, ya que por suposición, P no es algo que definamos.

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