Binomio de la representación de los procesos estocásticos

Question

Es de conocimiento común que un paseo aleatorio puede ser representado en la forma de un binomio proceso. Es posible representar cualquier genérico de proceso estocástico (incluyendo a los no-lineal) de la forma $dX=adt+bdW(t)$ (donde $W(t)$ es un proceso de Wiener) como un proceso binomial? Existen trabajos que han abordado este tema?

Gracias.

Answer 1

Para una martingala $dX=a(X,t)\,dt+b(X,t) dW(t)$ donde $a$ e $b$ no son constantes, el árbol no se recombinan en general [editar]. Este es el principal problema. Véase, por ejemplo: Florescu, I. y F. G. Viens (2008, Marzo). De volatilidad estocástica: Opción de fijación de precios mediante un multinomial recombinación de árbol. La Matemática Aplicada Finanzas 15 (2), 151-181. Se aborda el caso de volatilidad estocástica, es decir,

$dS=aS\,dt+b(Y_t)S dW(t)$

$dY=\alpha(\nu − Y_t)dt + \psi(Y_t)dZ(t)$

Answer 2

Sí, esto es trivialmente cierto una vez que usted sabe que cada continuas local de la martingala es un momento de cambiar el movimiento browniano. Por lo tanto, si usted cambia de tiempo variable $t$ en $dX=a\,dt+b\,dW(t)$ a la derecha $t^\prime$ usted puede conseguir un estándar de representación en árbol.

Ahora, la hora correcta cambio puede ser difícil o imposible de averiguar, por lo que este teorema es de uso limitado.

Entonces uno se convierte en la tentación de tratar de hacer un árbol adaptado a la original de SDE. Como @lehalle notas, entonces usted está probablemente terminen con un árbol que no se recombinan. Usted puede ser capaz de superar ese defecto mediante la interpolación de los nodos de la espalda en un recombinan árbol y la aplicación razonable de las condiciones de contorno, pero en ese momento la mayoría de la gente sólo tiene que ir con la PDE solucionadores de lugar.