VERDADERO O FALSO: A medida que el número de activos de una cartera aumenta, la varianza de los rendimientos de la cartera tenderá hacia la desviación típica media de los activos de la cartera. ¿Y por qué?
He dicho Falso porque a medida que aumenta n la varianza de la cartera tiende a la covarianza y no a la media de los s.d. ¿Estoy en lo cierto? ¿Y qué más puedo añadir?
Tienes razón en que debería ser Falso.
Sin embargo, la varianza real de la cartera debe ser determinada por:
Var[w1*X+w2*Y] = w1^2*Var[X] + w2*Var[Y] + 2w1*w2*Cov[X,Y]
donde w1 y w2 son los pesos de X e Y respectivamente y suman 1.
Si los activos subyacentes no tienen correlación, la varianza tenderá hacia la media ponderada de las varianzas.
Puede utilizar la fórmula para comprobar cómo reaccionaría la varianza en función de la correlación de los dos activos.
¿Estoy en lo cierto?
Como señala la respuesta de Kora, sí.
¿Qué más puedo añadir?
Como se observa, la varianza de la suma es la suma de las covarianzas, no la media de las desviaciones típicas. Eso parece suficiente, pero ciertamente puedes añadir más si lo deseas.
Por ejemplo, lo que noté inmediatamente en la pregunta es que podías saber que era falsa simplemente por el análisis unitario, aunque no supieras que la varianza de la suma era la suma de las covarianzas.
Supongamos que tenemos una distribución gaussiana que representa algún proceso medido en dólares o metros, o lo que sea. Dólares, ya que tu ejemplo es financiero. La desviación estándar también se mide en dólares, es decir, ¿cuántos dólares alrededor de la media encontramos en la mayoría de los valores de esta distribución?
La varianza es el cuadrado de la desviación estándar, por lo que sus unidades son $ 2 lo que sea que eso signifique. Así que si tenemos:
A medida que el número de activos de una cartera aumenta, la varianza de los rendimientos de la cartera tenderá hacia la desviación típica media de los activos de la cartera.
La varianza de cada activo tiene unidades de 2 por lo que la varianza de la suma de activos también lo hace. Pero la desviación estándar tiene unidades de $, y por tanto la desviación estándar media también. No tiene sentido decir que una cosa denominada en una unidad "tiende hacia" una cosa denominada en una unidad diferente. Por lo tanto, sabemos que la respuesta tiene que ser "falsa".
Del mismo modo, si dijera que es verdadero o falso que tenemos un montón de esferas en una caja, y que a medida que añadimos más esferas por algún proceso, la superficie media tiende hacia el radio medio, sabrías inmediatamente que tiene que ser falso aunque no supieras nada de esferas. La superficie se mide en metros cuadrados y los radios se miden en metros, por lo que una no puede tender hacia la otra.
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