¿Por qué una opción swap ser considerado como un tipo de Vínculo opción?

Question

¿Por qué una opción swap ser considerado como un tipo de vínculo opción?

Mi idea: Supongamos que el swap de tasa de la swaption es $s$. Ahora consideremos un bono de opción expira a $T$ con la huelga, $(P_K)_t = \dfrac{1}{1+s(T-t)}$. El vínculo de la rentabilidad está dada por $(P(fl)-P_K)_+$ y el swaption rentabilidad es dado como $(fl-s)_+$. Es evidente que existe una relación entre estos dos pagos.

Alguien puede proporcionar una prueba matemática del resultado?

Answer 1

Considere la posibilidad de un pagador swaption con vencimiento $T_0$ y la huelga de $K$. Aquí la huelga de $K$ es la tasa fija pagada en la pata fija de la base fija por flotante swap con fechas de reinicio $T_0, \ldots, T_{n-1}$ y las fechas de pago $T_1, \ldots, T_n$ donde $0<T_0 < \cdots < T_n$. Suponemos que el swap intercambia los pagos $L(T_{i-1}; T_{i-1}, T_i)\Delta T_i$ e $K\Delta T_i$ donde $\Delta T_i = T_i -T_{i-1}$, y \begin{align*} L(t; T_{i-1}, T_i) = \frac{1}{\Delta T_i}\bigg(\frac{P(t, T_{i-1})}{P(t, T_i)}-1 \bigg), \end{align*} para $i=1, \ldots, n$, es un avance tasa Libor. Aquí, $P(t, u)$ es el precio en el tiempo $t$ de un bono cupón cero con vencimiento $u$ y de la unidad de valor nominal.

El valor del swap en el momento $t$ donde $0 \leq t \le T_0$, está dada por \begin{align*} & \ \sum_{i=1}^n \frac{1}{\Delta T_i}\bigg(\frac{P(t, T_{i-1})}{P(t, T_i)}-1 \bigg) \times \Delta T_i \times P(t, T_i) - K \sum_{i=1}^n P(t, T_i) \times \Delta T_i \\ = & \ P(t, T_0)-P(t, T_n) - K \sum_{i=1}^n P(t, T_i) \Delta T_i\\ = & \ P(t, T_0)- \bigg(\sum_{i=1}^{n-1}K \Delta T_i P(t, T_i) + \big( 1+ K \Delta T_n\big) P(t, T_n) \bigg). \end{align*}

La swaption de la rentabilidad al vencimiento $T_0$ está dado por \begin{align*} & \ \Bigg[\sum_{i=1}^n \frac{1}{\Delta T_i}\bigg(\frac{P(T, T_{i-1})}{P(T, T_i)}-1 \bigg) \times \Delta T_i \times P(T, T_i) - K \sum_{i=1}^n P(T, T_i) \times \Delta T_i\Bigg]^+ \\ = & \ \Bigg[1- \bigg(\sum_{i=1}^{n-1}K \Delta T_i P(T_0, T_i) + \big( 1+ K \Delta T_n\big) P(T_0, T_n) \bigg)\Bigg]^+. \end{align*} Es decir, la swaption rentabilidad es la rentabilidad de un bono de opción que tiene una tasa de cupón el mismo que el swap de tasa fija, mientras que el enlace de la opción de la huelga es de 1.