Mostrando el cambio de Gauss teorema para el caso bivariante

Question

Estuve leyendo sobre el cambio de Gauss teorema de la "Introducción a la Exótica Opción de fijación de Precios" por Pedro Buchen y vino a través de una pregunta que me parece que no puede encontrar. En el libro, él usa F(Z) (medibles función escalar de Z, Z siendo Gaussiano rv con una normal de la variable aleatoria), pero la función no aparece en la pregunta y en lugar de simplemente utiliza Z1 y Z2.

donde 1D es la univariante de la distribución Gaussiana y El GST es el de Gauss teorema de cambio de

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

El Cambio de Gauss Teorema dice que, para un estándar de la variable aleatoria Gaussiana $Z$, constante $c$, y la función $F$, tenemos la expectativa de \begin{align*} E\left(e^{cZ} F(Z) \right) = e^{\frac{1}{2} c^2}E\big(F(Z+c) \big). \end{align*} Dada la descomposición de $Z_2=\rho Z_1 + \sqrt{1-\rho^2} Z$ donde $Z$ es independiente de $Z_1$, \begin{align*} E\left(Z_1 e^{a Z_2} \right) &= E\left(Z_1 e^{a \rho Z_1 + a \sqrt{1-\rho^2}Z } \right)\\ &=E\left(Z_1 e^{a \rho Z_1}\right) E\left(e^{a \sqrt{1-\rho^2}Z } \right). \end{align*} Ahora, usted puede solicitar el Cambio de Gauss Teorema para calcular cada uno de ellos.