¿Cómo tratar el diferencial entre oferta y demanda que provoca estimaciones negativas de las densidades neutrales al riesgo a partir de los precios de las opciones?

Question

He intentado estimar la densidad de probabilidad neutral al riesgo, a partir de los precios de las opciones de la CBOE sobre el S&P500 de 2010 a 2016, utilizando la siguiente aproximación de Hull (2018).

Para las opciones de compra en una fecha determinada con igual vencimiento, los precios $c_1,c_2,c_3$ y las huelgas $K_1 = K_2-\delta, K_2,K_3=K_2+\delta$ .

$ \hat{g}(S_T=K) = e^{-r*(T-t)}\frac{c_1+c_3-2 * c_2}{\delta^2} \quad (1)$

Por alguna razón, esta expresión devuelve un valor negativo para algunas huelgas.

Este es un ejemplo de mi conjunto de datos:

dtmyears libor3m bid offer cp_flag strike     g
.032 .0025063 188.9 192.3 "C"     925            .
.032 .0025063 164.1 167.4 "C"     950            .
.032 .0025063 139.2 142.6 "C"     975        4.54e-17
.032 .0025063 114.4 117.8 "C"     1000      -.00016  <----  Why is it negative?
.032 .0025063  89.6  92.9 "C"     1025       .00048
.032 .0025063  64.9  68.3 "C"     1050       .00032
.032 .0025063  41.2  43.9 "C"     1075       .00336
.032 .0025063  19.6  21.6 "C"     1100        .0112
.032 .0025063   4.8   6.3 "C"     1125       .01616
.032 .0025063    .3   1.1 "C"     1150       .00752

En el ejemplo anterior, he calculado $g(S_T = 1000)$ de la siguiente manera (sin tener en cuenta el descuento):

$ \hat{g}(S_T=1000) =\frac{142.6+92.9-2*117.8}{25^2}=-.00016$

Esto ocurre tanto para las opciones de venta como para las de compra en todos los años, y tanto para las ofertas como para las medias de éstas.

Sospecho que esto se debe a las diferencias en la dispersión entre las huelgas.

¿Es posible incorporar el diferencial entre oferta y demanda en $(1)$ ¿se elimina el efecto?

Answer 1

Por ejemplo, podría parametrizar su densidad neutra de riesgo $\hat{g}(S_T=x)$ como un polinomio:

$$ \hat{g}(S_t=x)=\sum_ia_ix^i$$

y resolver el programa para un orden polinómico elegido $n =\max i$ :

$$\begin{align} & \min_{(a_i)}\left[\sum_k\left(\sum_i a_ix_k^i-\hat{g}(S_t=x_k)\right)^2\right] \\[3pt] & \ \forall \ k, \ \sum_ia_ix_k^i\geq0 \end{align}$$

También puede utilizar soluciones más adaptadas a su problema, como regresión kernel .