Rendimiento diario a la Volatilidad Realizada Anualizada Aproximada ¿16 o 20?

Question

A veces los operadores aproximan la volatilidad realizada para compararla con las volatilidades implícitas anualizadas en las opciones multiplicando la rentabilidad diaria de un día (como sustituto de la volatilidad diaria, ya que se supone que la rentabilidad media es cero) por 16, ya que la volatilidad es proporcional a root cuadrada del tiempo y si hay 252 días de negociación en un año:

$\sqrt{252}*\sigma_{daily}=\sigma_{annualized}$

$\sqrt{252}=15.8745 \approx 16$

Así que.., $16*\sigma_{daily}\approx\sigma_{annualized}$

El valor absoluto del porcentaje de rendimiento en un día determinado se utiliza en lugar de la volatilidad diaria para obtener una aproximación de la volatilidad realizada para ese día. Sin embargo, en "Volatility Trading" de Euan Sinclair afirma que deberíamos utilizar 20 como multiplicador en lugar de 16. Escribe que la diferencia "se debe a que se confunde root cuadrada de los rendimientos medios al cuadrado con los rendimientos diarios". Llega a este multiplicador mediante las siguientes ecuaciones:

$E[| R_{t} |]=\sqrt{2/\pi}\sigma$ ( ecuación 1 )

$\sigma=19.896(\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}| R_t |)$ ( ecuación 2 )

Así que.., $average move = 0.04986\sigma S \approx \frac{\sigma S}{20}$ ( ecuación 3 )

¿Cómo llega a la ecuación 1 y 2? ¿Por qué no es correcta la primera aproximación? Por favor, explique con más detalle.

Answer 1

Primero vamos a discutir cómo el autor llegó a la ecuación 1 y 2. Se basa en el hecho de que si $X \sim N(0, \sigma^2)$ entonces $ Y = |X|$ sigue distribución seminormal . En su pregunta, $X$ es el rendimiento diario (es decir $R_t$ ). Se puede demostrar que $$E(|X|) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma \tag{equation 1}$$ esto proporciona $$\sigma = E(|X|) \cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}} $$ Para los datos de la muestra $$\hat{\sigma} = 1/N\sum_{I =1}^{N} |X_i| \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} $$ donde $\hat{\sigma}$ es un estimador de la volatilidad diaria. Suponiendo 252 días en un año, esto proporciona (suponiendo $X_i's$ son i.i.d.) $$\sigma_{annual} = \sqrt{252} \hat{\sigma} = 19.896 \cdot 1/N\sum_{I =1}^{N} |X_i| \tag{equation 2} $$

También ha preguntado qué enfoque es más correcto. Para los grandes asintóticos $N$ ambos enfoques son equivalentes y proporcionan el mismo estimador. En el primer enfoque, la volatilidad se define como la media de root cuadrada de la rentabilidad, mientras que en el segundo enfoque la volatilidad es simplemente la media de la rentabilidad absoluta. Nota, $$1/N \sum_{I=1}^{N} |X_i| \leq \sqrt{1/N \sum_{I=1}^{N} X_i^2}$$ Creo que esto proporciona una buena relación entre la norma la desviación estándar y la desviación estándar absoluta.