Estadísticas de la diferencia entre dos GBMs

Question

si tengo dos precios de los activos se modelan por separado como el geométrico browniano movimientos. ¿Cómo puedo calcular la espera de las estadísticas de su diferencia? Como sigmas y mus de ambos procesos, y sus correlaciones, ¿qué sería de la desviación estándar de la diferencia/suma?

Existe una solución analítica para el caso de dos GBMs? O existen aún soluciones para n>2?

He hecho simulaciones con un gran número de activos. Pero podría intermarket se extiende o similar puede hacerse sin la simulación?

Yo realmente pensé que esto sería fácil de encontrar en google, pero me fue imposible.

Answer 1

$$ \frac{dS_{1}}{S_{1}}=\mu_1 dt + \sigma_1 dW_{1} \a S_{1} = S_{1,t=0}e^{\int^t_0 \mu_1 - .5\sigma^2_1 ds + \int^t_0 \sigma_1dW_{1}}\\ \frac{dS_{2t}}{S_{2}}=\mu_2 dt + \sigma_1 \rho dW_{1} + \sigma_2 (1-\rho)dW_{2t} \a S_{2t} = S_{2,t=0}e^{\int^t_0 \mu_2 - .5 (1-\rho)^2\sigma_2^2 + \rho^2 \sigma_1^2 ds + \rho \int^t_0 \sigma_1dW_{1} + (1-\rho)\int^t_0 \sigma_2dW_{2}} \\ S_{2t} - S_{1} = S_{1,t=0}e^{\int^t_0 \mu_1 - .5\sigma^2_1 ds + \int^t_0 \sigma_1dW_{1}} - S_{2,t=0}e^{\int^t_0 \mu_2 - .5 (1-\rho)^2\sigma_2^2 + \rho^2 \sigma_1^2 ds + \rho \int^t_0 \sigma_1dW_{1} + (1-\rho)\int^t_0 \sigma_2dW_{2}} $$

Que como se puede ver, no es GBM, pero usted puede calcular el valor Esperado a partir de aquí.

Answer 2

Por supuesto que no existe de forma cerrada, la fórmula para este. Sin embargo, la comunidad no ha trabajado todo lo que la distribución momentos. Un uso común es para obtener el equivalente lognormal (o cambiado a veces lognormal) la distribución de una cartera (como su diferencia).

He aquí una reciente momentos papel en el que se van tan lejos como para ejecutar un binomio árbol Americano de la cesta de opciones.