La distribución de los mínimos de funciones de riesgo

Question

Supongamos que tengo dos variables aleatorias, $X_1$ y $X_2$, que son independientes (pero no idénticamente distribuidas) y asumir ambos tienen funciones de riesgo $\lambda_1(s)$ y $\lambda_2(s)$ para $s > 0$. Entonces, ¿cómo puedo derivar la función de riesgo de $\min(X_1, X_2)$?

EDIT: Vamos a $S$ describir la vida de una persona, a continuación, definir $\theta_s(t) = P(S > s+t | S > s)$ como la supervivencia de la función. Luego de definir la función de riesgo como $\lambda(s) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} (1-\theta_s(t)) = -\theta_s'(0)$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$P(X_i >s)= \exp\Big(-\int_0^s \lambda_i(u) du \Big),$$ para $i=1, 2$. Entonces, $$P(\min(X_1, X_2) >s) = P((X_1>s)\cap (X_2>s)) = P(X_1>s)P(X_2>s) = \exp\Big(-\int_0^s (\lambda_1(u)+\lambda_2(u)) du \Big).$$ Es decir, la función de riesgo para $\min(X_1, X_2)$ es $\lambda_1(s)+\lambda_2(s)$.

Alternativamente, se nota que $$\lambda_i(s) = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{P(X_i \leq s+\Delta s | X_i > s)}{\Delta s} \\ = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{P(X_i > s) - P(X_i > s+\Delta s)}{\Delta s P( X_i > s)},$$ para $i=1, 2$. A continuación, la función de riesgo de $\min(X_1, X_2)$ es dada por $$ \lambda_{\min(X_1, X_2)}(s) = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{P(\min(X_1, X_2) \leq s+\Delta s | \min(X_1, X_2) > s)}{\Delta s} \\ = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{P(\min(X_1, X_2) > s) - P(\min(X_1, X_2) > s+\Delta s)}{\Delta s P( \min(X_1, X_2) > s)} \\ = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{P(X_1 > s)P(X_2> s) - P(X_1 > s+\Delta s)P(X_2 > s+\Delta s)}{\Delta s P(X_1 > s)P(X_2> s)} \\ \pequeño= \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{P(X_1 > s)P(X_2> s){\tiny-P(X_1 > s)P(X_2 > s+\Delta s) + P(X_1 > s)P(X_2 > s+\Delta s) }- P(X_1 > s+\Delta s)P(X_2 > s+\Delta s)}{\Delta s P(X_1 > s)P(X_2> s)} \\ \pequeño=\lim_{\Delta s \rightarrow 0}\bigg(\frac{P(X_2> s)-P(X_2 > s+\Delta s)}{\Delta s P(X_2> s)} +\frac{P(X_2 > s+\Delta s)}{P(X_2> s)} \frac{P(X_1 > s)-P(X_1 > s+\Delta s)}{\Delta s P(X_1 > s)}\bigg) \\ = \lambda_1(s)+\lambda_2(s). $$