paseo aleatorio con deriva y barrera de absorción

Question

Hola: Voy a explicar mi pregunta mediante el uso de una hormiga que sólo camina en una dirección y es horizontal y hacia la derecha.

Entonces, supongamos que tengo una hormiga llamada slowmo que está sentada en $x = 0$ . De forma determinista, camina una unidad hacia la derecha por unidad de tiempo, de modo que, después de $N$ unidades de tiempo ( las llamaré períodos a partir de ahora ), estaría en $x = N$ si sólo caminaba y no había viento de por medio.

Por supuesto, el viento está involucrado, pero es bastante simple viento. Después de slowmo camina hacia adelante una unidad a la derecha en cada nuevo tiempo discreto $i$ una variable aleatoria de $N(0, \sigma^2)$ se extrae. Esta variable aleatoria, $\epsilon_{i}$ es la cantidad que el slowmo es empujado hacia delante (si es +) o hacia atrás (si es -) por el viento después de haber dado un paso adelante.

Nótese que, es posible que slowmo sea empujado hacia adelante con tanta frecuencia que termine recorriendo la distancia de N unidades en menos de N períodos. En este caso, seguiríamos llamando a su punto de aterrizaje final $x = N$ y su viaje ha terminado en el tiempo que ha tardado. Por otro lado, si no llega a $x=N$ en $N$ períodos, entonces también se considera que el viaje ha terminado y se detiene en el lugar donde se detuvo. En cada caso, si llega a $x = N$ o no, su ubicación final se refiere a $X[N]_{\sigma^2}$ y es una variable aleatoria.

Así que, para resumir lo anterior, puse el slowmo en $x = 0$ , declarar el número de periodos de tiempo que se le permite caminar hacia adelante (un paso) como $N$ y, después $N$ han pasado los periodos de tiempo, el juego ha terminado. Su ubicación final se denota como $X[N]_{\sigma^2}$ .

Mi pregunta es: ¿Cuál es la varianza de $X[N]_{\sigma^2}$ ?

Creo que el proceso estocástico en sí es un paseo aleatorio sobre los enteros con deriva y una barrera de absorción. Así que, primero traté de buscar en Google "paseo aleatorio sobre los enteros y barrera de absorción" pero no pude encontrar mucho en él y definitivamente no la varianza de la misma.

Así que pensé que no valía la pena buscar el caso más complejo en el que la deriva debida a una función determinista también existe.

Esto parece un problema que algún genio de las matemáticas del pasado habría resuelto en algún momento, pero como dije, mis búsquedas no dieron mucho de sí.

Si alguien sabe dónde hay material sobre este problema, con o sin deriva, se agradece. Evidentemente, la deriva lo hace más complicado pero, si encontrara algo sobre el caso sin deriva, tal vez eso podría llevar a casos más complicados como la deriva o al menos podría obtener alguna aproximación.

Al mismo tiempo, aunque no tengo ni idea, si alguien sabe cómo solucionar esto por sí mismo, por supuesto que también se agradecería. Realmente no sé lo difícil que es esto, pero está más allá de mis capacidades generales con seguridad. Gracias por la ayuda. También, si este no es el sitio correcto de stackexchange para enviar, hágame saber si debo enviarlo a digamos el de matemáticas en su lugar.

Answer 1

En primer lugar, esto es algo muy normal para la estocástica, que estudia las propiedades de estos procesos. Así que si no encuentras nada, busca cualquier libro de texto de estocástica.

Una cosa que no queda clara en su explicación es qué $X[N]$ es cuando Slowmo llegó al límite antes de tiempo. ¿Tiene $X$ seguir evolucionando, o se detiene? La diferencia estriba en que si puede seguir caminando, entonces hay muchos valores más grandes que serían posibles y contribuirían a la varianza.

Esencialmente, usted está pidiendo la varianza de la posición final después de $N$ pasos; la deriva es una distracción aquí ya que la posición esperada es siempre $N\pm \mathrm{something}$ sería equivalente a empezar en $N$ y luego evolucionar una serie de pasos aleatorios sin deriva.

La varianza de la suma de variables aleatorias independientes (es decir, cada paso aleatorio) es la suma de la varianza de cada variable:

$$\mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^{i=N} W_i \right) = \sum_{i=1}^{i=N} \mathrm{Var}\left(W_i \right)$$

En este caso las variables se distribuyen con media 0 y varianza $\sigma$ por lo que la varianza de una suma de $N$ tales variables:

$$\mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^{i=N} W_i \right) = \sum_{i=1}^{i=N} \sigma^2 = N \sigma^2 $$

Absorción

El problema es la noción de absorción, que sugiere que usted quiere decir que el valor deja de cambiar una vez que se alcanza la barrera. Así que todos los escenarios en los que Slowmo alcanzaría valores $X>N$ son absorbidos en el resultado $X=N$ .

En esta construcción, ya no tiene sentido hablar de la varianza como la suma de la varianza de los pasos, porque algunos de esos pasos pueden ni siquiera ocurrir . Considera que después de 1 paso, con alguna minúscula probabilidad, Slowmo alcanza $N$ . El resto $N-1$ los pasos no se dan, así que ¿cómo vas a contabilizar su variación?

También significa que el valor esperado ya no es $N$ . Antes, cada trozo de probabilidad para un valor inferior a N se correspondía con un trozo simétrico superior a N, dejando N como valor esperado. Pero ahora ningún valor está por encima de $N$ por lo que el valor esperado es debajo de $N$ .

Para ilustrarlo, en una hoja de cálculo rápida he calculado la media y la varianza de una serie de ejecuciones con y sin absorción:

           Mean   Var
Unbounded  ~6     ~0.28
Absorbing  ~5.8   ~0.1

Con un stdev para cada paso de 0,2, y con todos los valores por encima de 6 limitados a exactamente 6, y todos los caminos que llegan a 6 terminan antes.

¿Cómo sería la varianza revisada? Será menor que la del proceso sin límites, porque se ha eliminado básicamente toda la cola derecha de la distribución. Esto empieza a parecerse a la Distribución seminormal cuya varianza es $1-2/\pi \approx 0.36$ el de la Normal equivalente.

Y en la hoja de pruebas, la varianza de los resultados acotados es alrededor de un tercio de la no acotada - hay un elemento añadido por parar antes de tiempo que dependerá del propio valor de la desviación estándar, ya que las desviaciones std pequeñas tienen menos probabilidades de terminar antes que los valores más grandes; de hecho, con una stdev de 1e-10 para cada paso obtengo una relación de 0,35, y con una stdev de 100 (es decir, la barrera es ~0) la relación es de 0,27.

Opciones similares

De serie, el modelo parece una opción en la posición de Slowmo. En concreto, si el pago es $X[N]$ entonces tenemos una opción con valor positivamente correlacionado con el subyacente, hasta una barrera en el valor $N$ . Una versión más realista aplicaría una deriva exponencial en lugar de lineal, y tendría un movimiento browniano geométrico en lugar de lineal; es decir, la escala del movimiento aleatorio sería relativa en lugar de absoluta.

Para más información, recomendaría leer sobre estocásticos y opciones de barrera, y poner algunos números de prueba a través de una hoja de cálculo.