He estado mirando el pastel de comer problema a través de un número finito de horizion y han estado tratando de averiguar si podemos derivar una función de política de tal problema. Mi trabajo se escribe a continuación.
secuencia de la forma de este problema es:
$$\max _{c_t,x_{t+1}}U(c_t)=\sum_{i=0}^T\beta^tu(c_t),\ \ \ \ \ \ 1>\beta>0$$ $$s.t. x_{t+1}=x_{t}-c_t$$
suponiendo que la función de utilidad instantánea para tales preferencias son $u(c_t)=\ln(c_t)$ de ello se deduce que la ecuación de la función de un problema es:
$$v(x_{t+1})=\max_{x_{t+1}}\{\ln(x_t-x_{t+1})+\beta v(x_{t+1})\}$$
En este caso im suponiendo que $T=2$ (tenemos tres períodos a partir de período cero) y supongamos que $x_0>0$. Resolver el problema de la inducción hacia atrás sabemos. $$v(x_2)=\ln(x_2)$$ se sigue a partir de este resultado, que para el período anterior valor de la función tenemos: $$v(x_1)=\max_{x_2}\{\ln(x_1-x_2)+\beta v(x_2)\}$$ $$v(x_1)=\max_{x_2}\{\ln(x_1-x_2)+\beta \ln(x_2)\}$$
después de tomar la condición de primer orden para este resultado y la solución para $x_2$ obtenemos: $$x^* _2=\frac{\beta x_1}{1+\beta}$$
ahora sabemos que nuestro valor de la función está bien definida como:
$$v(x_1)=\ln\left(x_1-\frac{\beta x_1}{1+\beta}\derecho)+\beta \ln\left(\frac{\beta x_1}{1+\beta} \right)$$
Simplificando:
$$v(x_1)=\ln\left(\frac{ x_1}{1+\beta}\derecho)+\beta \ln\left(\frac{\beta x_1}{1+\beta}\right) $$
Para nuestro $v(x_0)$ seguimos el mismo procedimiento de antes
$$v(x_0)=\max_{x_1}\{\ln(x_0-x_1)+\beta v(x_1)\}$$ $$v(x_0)=\max_{x_1} \left \{\ln(x_0-x_1)+\beta \left[\ln\left(\frac{ x_1}{1+\beta}\derecho)+\beta \ln\left(\frac{\beta x_1}{1+\beta}\derecho) \right]\right\}$$
sobre la resolución de un problema de optimización podemos encontrar:
$$x_1^*=\frac{(\beta+\beta^2)x_0}{1+\beta+\beta^2}$$
A partir de este trabajo que he realizado anteriormente, podemos ver que las funciones de política de cambio de cada período.
Dada la resolución de más arriba invariable en el tiempo de la política existen funciones?
