Formule y resuelva el problema de frontera libre para las opciones americanas perpetuas con los siguientes pagos.
a.) $(S - K)_{+} + a$ donde $a > 0$
b.) $(K - S)_{+} + a$ donde $a > 0$
c.) A horcajadas
No tengo ni idea de cómo empezar, tengo algunos apuntes sobre las opciones perpetuas americanas pero no estoy seguro de cómo resolver estas cuestiones. No tengo mucha experiencia en ode o pde pero seguro que lo entendería si viera la solución.
Supongo que $r>0$ .
Veamos a)
Dejemos que $v$ sea la solución.
$v$ es creciente (fácil de demostrar, tome $x<y$ y demostrar que $v(x)<v(y)$ debido $(S^x_t-K)^++a<(S^y_t-K)^++a$
en la región de continuidad $C$ es decir $x:v(x)>(x-K)^++a$ , usted tiene : $$\text{Black Scholes PDE perpetual case : }\frac{1}{2}\sigma^2x^2v''(x)+rxv'(x)-rv(x)=0$$
las soluciones son de la forma :
$$C_1x^{\frac{-2r}{\sigma^2}}+C_2x$$
Ahora tienes que averiguar si $C=[0,x^\star)$ o $(x^\star,+\infty)$ o algo más complicado $(x^\star_1,x^\star_2)$ ...
Así que estudia $x\to v(x)-(x-K)^+-a$ ,
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¿En qué modelo? Supongo que hablas de Black scholes. Como primer comienzo, pregúntate cómo escribir la opción americana perpetua para un pago $\phi(S)$ ? La solución si la tasa de descuento es constante es $\text{Am}(\phi)(x)=\sup_{\tau\geq 0}\mathbb{E}(e^{-r\tau}\phi(S_\tau)|S_0=x)$ . El primer paso para encontrar la solución es escribir la desigualdad variacional genérica que se obtiene. Es decir, en $x$ no en la región del ejercicio, $\text{Am}(\phi)$ satisfará una determinada EDO. (Por cierto que la forma de las soluciones de estos ODE si usted mira la prueba para la opción de venta perpetua)
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Sí, nos referimos al modelo de Black Scholes. ¿Podría proporcionar una solución a uno de mis problemas para que pueda seguir entendiendo?