He estado leyendo el libro de Preguntas Frecuentes de Wilmott y en él se menciona que Vega no es útil a la hora de medir el riesgo para opciones que tienen gammas que cambian de signo como la opción Digital o la opción Barrera. En particular, aunque Vega es 0 cuando el spot está alrededor del nivel de strike, es donde la opción es más sensible a la volatilidad. Lamentablemente, no se explicó en detalle. ¿Puede alguien explicarlo con más detalle?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el modelo Black-Scholes el precio de una opción binaria es
$$ B = e^{-r(T-t)}N(d_2) $$
con
$$ d_2 = \frac{\log(\frac{S}{K})-\frac12 \sigma^2 (T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} $$
Diferenciación con respecto a $\sigma$ nos da nuestro riesgo de volatilidad, o vega
$$ \frac{\partial B}{\partial\sigma} = e^{-r(T-t)} N^\prime(d_2)\frac{d_2+\sigma\sqrt{T-t}}{\sigma} $$
Por lo tanto, si tenemos
$$ d_2 = -\sigma\sqrt{T-t} $$
o equivalentemente
$$ S = Ke^{-\frac12 \sigma^2(T-t)} $$
Entonces el riesgo aparente es cero. Por supuesto, en el instante en que cualquiera de estos parámetros, especialmente $\sigma$ ou $S$ En caso de que se produzcan cambios, se encontrará con un riesgo de volatilidad considerable.
