Implícita Vol vs Calibrado Vol

Question

Considere el modelo Black-Scholes, en el que el registro de acciones durante un período de tiempo $\Delta t$ es dada por

$$ \log(S_{i+1}/S_i) = (\mu \sigma^2/2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} Z_i, \qquad Z_i \sim \mathcal{N}(0,1). $$

El precio de una llamada en vez de $T$ bajo este modelo (cuando reemplazamos $\mu$ con $r$) está dada por (haciendo hincapié en la dependencia en $\sigma$)

$$ C(\sigma) = SN(d_1) - Ke^{rT}N(d_2), $$

donde

$$ d_1 = \frac{1}{\sigma{\sqrt{T}}}\left(\log(S/K) + (r + \sigma^2/2)T\right) = d_2 + \sigma \sqrt{T}. $$

Ahora, suponiendo que $r$ es conocido, se tiene (al menos) dos métodos de estimación de $\sigma$, es decir, el uso de un menos-sqaures de la regresión en el registro de devoluciones, o el cálculo del implícita vol.

La regresión en el registro de devoluciones:

Nota: el registro de las devoluciones es una ecuación de regresión lineal de la forma

$$ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \sigma\sqrt{\Delta t} \epsilon_i $$

con $\beta_0 = (\mu \sigma^2/2)\Delta t$, $\beta_1 = 0$ y $\epsilon_i \sim \mathcal{N}(0,1)$, independiente. Así que, suponiendo que tenemos una muestra de $N$ de registro de devoluciones (denotado $Y_i$) y desde entonces $\beta_1 = 0$, estimamos $\beta_0$ en la manera usual de regresión por

$$ \hat{\beta_0} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i, $$ y, a continuación, la estimación de $\sigma$ utilizando la desviación estándar de los residuos,

$$ \hat{\sigma} = \frac{std(Y_i - \hat{Y_i})}{\sqrt{\Delta t}}, $$

donde $\hat{Y_i}$ son el modelo de regresión-predijo registro de las devoluciones. Este es un método para la estimación de $\sigma$ utilizados en la fijación de precios de la ecuación, y es en el que menos se sqaures sentido de nuestro "mejor estimación" en $\sigma$. Este $\hat{\sigma}$ entonces podría ser usada para calcular todas las opciones call Europeas de los $S$ a través de todas las huelgas y los vencimientos.

Implícita vol:

Dado un mercado de llamada precio $C_{\text{observado}}$ para algunos huelga y de caducidad, podemos calcular el $\sigma_{\text{implícita}}$ tal que $C(\sigma_{\text{implícita}}) = C_{\text{observado}}$. Podemos calcular un $\sigma_{\text{implícita}}$ para todas las opciones de llamada tenemos precios (suponiendo $r$ es conocido). Entonces, cuando nos gustaría a precio de una llamada utilizando nuestros precios ecuación para algunos huelga/caducidad de la que no se observa, se puede elegir (o interpolar entre unos pocos) el $\sigma_{\text{implícita}}$ que es la más cercana a la huelga/espiración nos gustaría precio y el uso de este $\sigma_{\text{implícita}}$ en nuestros precios ecuación.

Por lo tanto, tenemos dos métodos de obtener un adecuado $\sigma$ para utilizar en nuestros precios ecuación. Parece que gran parte de la literatura está dedicado a la implícita vol, así que yo supongo que esta es la técnica preferida. Mi pregunta es, ¿hay alguna relación entre los dos, y cuando se debe utilizar el uno sobre el otro?

Answer 1

La principal diferencia es que un enfoque supone que una cierta dinámica de la estructura adecuadamente describe el instrumento subyacente, mientras que el otro enfoque es realmente sólo una re-escritura de los precios en términos de la volatilidad implícita.

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita en realidad sólo necesita dos cosas: el precio de las acciones subyacentes y el llamado precio de la opción (aparte de la tasa libre de riesgo y la elección de la huelga). Por lo tanto, todas las entradas son establecidos por el mercado. En ningún momento tienes alguna duda acerca de los diferentes parámetros que determinan la volatilidad implícita.

En la volatilidad implícita de enfoque se puede, por tanto, nunca detectar la señorita de precios de las opciones, ya que el precio ya está establecido por el mercado. Por qué tendría que ser útil? Bueno, tal vez sostener algunas opciones en su libro, y usted quiere saber lo que su valor razonable es. Por tanto, los interesados en los mercados de vista de las opciones de precio. Pero, como los comerciantes a trabajar con volatilidades en lugar de los precios, por lo que necesita no sólo el mercado-implícita en el precio de la opción, pero en lugar de la correspondiente de la volatilidad implícita. De nuevo, esto viene por el hecho de que la volatilidad implícita no es más que una re-escritura del precio de la opción establecida por el mercado.

Tenga en cuenta que el BS modelo no es consistente con la volatilidad implícita como los establecidos por el mercado. Por qué? Debido a que la volatilidad implícita es la huelga-dependiente. Si el extracto de la volatilidad implícita usted encontrará que normalmente en-el-dinero opciones tienen una menor volatilidad implícita de las opciones que están lejos de la en-el-dinero. La volatilidad implícita se dice que forman una sonrisa, que se refiere a la forma de la gráfica formada por el trazado de la volatilidad implícita vs huelga. Esto no es consistente con el modelo BS, ya que sólo puede trabajar con una volatilidad.

Calibrado de la volatilidad

El método de regresión calibra todo a la acción subyacente. Aquí realmente tratamos de inferir lo que el valor razonable de la opción el precio que debe ser, dada su modelo y los datos históricos. Si usted termina con una opción de precios diferentes de los de mercado (que es casi seguro que suceda), y usted tiene un montón de fe en su calibración, entonces tendría que ir ya sea larga o corta una opción y, potencialmente, hacer un beneficio. Usted consideraría a sí mismo "mejor informado" que el del mercado.

Este enfoque es, por tanto, dependientes de modelo. Usted ha hecho una elección en lo que a modelo que se utiliza para describir el mercado de valores. Se supone que una cierta distribución describe tu log-devoluciones y es completamente fijo por sólo un puñado parámetros estadísticos. Usted podría llamar a esto un tipo de modelo de sesgo.

En segundo lugar, usted está tratando con la inferencia estadística, y por lo tanto errores estadísticos surgirán. ¿Por qué es la función de error se utiliza el camino a seguir? ¿Por qué no la norma absoluta o alguna otra función de error? Más probable es que su elección se realiza porque asume sus errores se distribuyen de una manera particular, pero esto es de nuevo un ejemplo de modelo de sesgo. La cantidad de datos que se utiliza para calibrar los parámetros? ¿Qué tan seguro está usted de sus estimaciones estadísticas? La volatilidad implícita es sólo un precio, por lo que siempre vamos a estar de acuerdo en esto. Pero para el calibrado de la volatilidad de que no es el caso, habrá algún error estadístico asociado con él.

Por último, el modelo es calibrado completamente a los datos históricos. Pero las opciones son todos acerca de eventos futuros. La volatilidad histórica podría no estar de acuerdo con la volatilidad implícita porque el mercado está esperando un más volátil el futuro.

Ahora, su enfoque de calibración puede ser demasiado simplista, pero potencialmente podría mejorar en esto. Y esto es de hecho lo que algunos fondos de tratar de hacer. El enfoque de calibración es, por tanto, realmente se trata de "intentar batir a los mercados de vista sobre la opción de los precios".

Así es datos históricos nunca se utiliza como entrada en estos modelos de fijación de precios? No necesariamente. Para algunos mercados no existen las volatilidades implícitas disponibles (por ejemplo, los mercados de la energía son muy ilíquidos, o algunos institutos ofrecen opciones especiales para sus clientes). En ese caso, los datos históricos, puede ser la única forma decente de la estimación de su opción de precios.

Answer 2

Depende de lo que quieras volatilidad. La teoría diré que:

"Implícita la variación de corto plazo ATM opciones es aproximadamente igual a la expectativa de los di cuenta integrada de la varianza del subyacente durante la vida de la opción y bajo el riesgo de neutro medida"

En matemáticas: $\sigma^2_{ATM}\approx E^Q\left(\frac{1}{T}\int_0^T\sigma^2_t dt\right)$

Ahora hay algunos detalles interesantes aquí. Por ejemplo, la relación es el modelo de libre, pero se mantiene para los pequeños horizontes y para las huelgas en torno a la actual plaza. También, la expectativa es bajo Q, no en virtud de la física de la probabilidad de medida: incluso para el corto plazo ATM opciones hay una base entre implícita y real de la volatilidad. Esto está bien documentado en la literatura y se refleja en la prima de riesgo para el trading de volatilidad (véase, por ejemplo, la figura 6.5 en estas notas).

Por lo tanto, como he dicho, depende de lo que el propósito de la estimación. Si quieres precio, se adhieren a los implícita, como son bajo P. riskmanagement empezar con el histórico. Hay razones válidas para el uso de ambos, pero uno tiene que ser cuidadoso y reconoce las diferentes medidas.

Answer 3

Esto es bastante sencillo:

• Los precios de mercado de vainilla opciones a través de la volatilidad implícita. Te puede gustar o no gustar, pero que es la manera que es. Así, el justo precio de la opción es el equivalente de la implícita vol través de BS.

• Ahora, si usted cree que el verdadero precio de una opción debe ser diferente de la cuota a precio de mercado y la figura que usted tiene una mejor manera de modelar el futuro de la volatilidad, a continuación, usted debe por todos los medios hacerlo y aprovechar ese conocimiento.

Es realmente así de simple.