El ejemplo típico de las derivadas dependientes de la trayectoria son los knock-ins y knock-outs. Al mismo tiempo, las opciones americanas vainilla también pueden considerarse altamente dependientes de la trayectoria.
¿Existe una definición/clasificación más o menos formal de la "dependencia del camino"?
Para los profesionales, un derivado es no dependiente de la trayectoria si su valor puede expresarse como una expectativa de valores futuros descontados en algún plazo específico $T$
$$ V(0) = E\left[ \left. V(T) \exp{\left(-\int_0^T r(s)ds\right)} \right| {\cal{I}_0} \right] $$
Obviamente, esto es conveniente cuando sucede porque uno sólo tiene que preocuparse de las densidades de probabilidad dentro de la expectativa para el único tenor $T$ .
Las opciones con ejercicio americano no cumplen este criterio, ya que su valor depende de una estrategia de ejercicio, escrita aquí como un tiempo de parada $\tau$
$$ A(0) = \sup_{\tau \leq T} E\left[ \left. V(\tau) \exp{\left(-\int_0^\tau r(s)ds\right)} \right| {\cal{I}_0} \right] $$
Otras opciones no cumplen el criterio porque su valor depende de las fijaciones $t<T$ o las condiciones de la barrera, etc., etc. En muchos de estos casos, la dependencia de la trayectoria es débil en el sentido de que se puede introducir una única dimensión extra en la SDE/PDE, por ejemplo un tabulación actual de la media en curso precio, y resolver en consecuencia.
Un proceso estocástico que no es ergódico es inherentemente "dependiente de la trayectoria". Se puede pensar en esto de varias maneras, pero para mí, la más intuitiva en el contexto de MC.
Una cadena de Markov es no ergódica si no es recurrente positiva o si es periódica. Alternativamente, a medida que aumentan las transiciones en la cadena, la medida de probabilidad de una cadena no ergódica no será mayor que cero E independiente de su distribución de probabilidad inicial (más sobre esto en el famoso Feller II ). Es decir, un MC ergódico puede alcanzar eventualmente cualquier otro estado con alguna probabilidad positiva.
Otra fuente útil puede ser Notas de Omri Sarig sobre la ergodicidad dependiendo del nivel de formalidad que se busque.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
