Estoy un poco confundido sobre cómo establecer el Lagrangiano en problemas de optimización intertemporal con restricciones. La confusión está en cuándo se multiplica la restricción del presupuesto de un período por el factor de descuento Beta y/o cuándo se incluye en la suma. Aquí está a lo que me refiero. En este primer ejemplo:
la restricción no se multiplica por Beta, ni forma parte de la suma. Ahora, en el ejemplo 2:
la restricción se multiplica por el factor de descuento Beta y forma parte de la suma intertemporal. ¿Por qué esta diferencia? ¿No son los dos casos prácticamente iguales, ambos maximizando sujeto a restricciones de un período? La única diferencia que veo es cuando se realiza la tasa de interés sobre los activos, pero creo que eso no debería importar, ¿verdad? También encontré un tercer caso (subiré una imagen más tarde si la encuentro) en el que la restricción de un período se suma intertemporalmente, pero no se descuenta por Beta. Entonces, en conclusión: ¿cuál es la regla aquí? ¿Qué me estoy perdiendo?
EDITAR:
Al observar las condiciones de primer orden que siguen al ejemplo 1, queda claro que el autor quiere que el Multiplicador de Lagrange sea parte de la suma, pero no descontado por Beta. Esto se evidencia en lo siguiente:
Así que esto realmente me parece una formulación diferente al segundo ejemplo. Lo "curioso", sin embargo, es que en ambos casos se obtiene el mismo resultado (es decir, la misma Ecuación de Euler).
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Estoy bastante seguro de que en el primer ejemplo, la restricción debería formar parte de la suma. Hay suficiente ambigüedad en la notación para que interpretes que lo que está escrito significa esto. Por supuesto, es mejor ser explícito poniendo entre paréntesis, como en tu último ejemplo.