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Kirk Aproximación y el Ejercicio de la Probabilidad

Tengo una pregunta acerca de la propagación de las opciones. Yo soy de los precios de una opción de venta sobre dos activos, con una huelga valor de 0:

$max(K-(F_1-F_2);0)=max(0-(F_1-F_2);0)=max(F_2-F_1;0)$

Sé que este tipo de opciones podrían ser valoradas según Kirk aproximación, o mejor en este caso Margrabe fórmula, por lo que el precio correcto de este puesto debe ser:

$p=exp(-rT)*(-F_1N(-d_1)+F_2N(-d_2))$

dado que este es un 0 strike de la opción de la delta, simplemente se debe: $\Delta_1=-N(-d_1)$ y $\Delta_2=N(-d_2)$

Lo que no entiendo es: Sé que para un vainilla opción el valor de delta $exp(-rT)*N(d_1)$ se utiliza a menudo como una aproximación del ejercicio de la probabilidad. ¿Qué hay acerca de la propagación de la opción como esta? ¿Cómo puedo obtener un "Ejercicio de probabilidad" a partir de los valores delta?

Gracias

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tralston Puntos 76

Al ver que su pregunta es acerca del cómo, aquí es la idea de la derivación.

El ejercicio de la probabilidad es simplemente $\mathbb{P}(F_{2,T} > F_{1,T})$, se supone que ambos son lognormal: $$\begin{aligned} F_{1,T} & = F_{1,0} e^{rT - \frac{\sigma_1^2}{2}+\sigma_1\sqrt{T}Z_1} \\ F_{2,T} & = F_{2,0} e^{rT - \frac{\sigma_2^2}{2}+\sigma_1\sqrt{T}Z_2} \end{aligned}$$

donde $Z_1$ y $Z_2$ son dos gaussianas, que están correlacionados.

Reemplazando en la probabilidad, obtenemos: $$\begin{aligned} \mathbb{P}(F_{2,T} & > F_{1,T}) \\ & = \mathbb{P}(\log(F_{2,0})- \frac{\sigma_2^2}{2}+\sigma_2\sqrt{T}Z_2 > \log(F_{1,0}) - \frac{\sigma_1^2}{2}+\sigma_1\sqrt{T}Z_1) \\ & = \mathbb{P}\left( \frac{1}{\sqrt{T}} \left[ \log\left(\frac{F_{2,0}}{F_{1,0}} \derecho)- \frac{\sigma_2^2 - \sigma_1^2}{2} \right] > \sigma_1 Z_1 - \sigma_2 Z_2\derecho) \end{aligned}$$

Usted sabe que $Z_1$ y $Z_2$ son estándar gaussiano con una determinada correlación de $\rho$, así que usted sabe que $(\sigma_1Z_1 - \sigma_2Z_2)$ es gaussiano con media cero y desviación estándar: $$\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2 ^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2}$$

Escrito $\sigma_1Z_1 - \sigma_2Z_2 = \sigma Z$, y sustituyendo en la probabilidad de expresión de arriba, a continuación, se dará el resultado que se busca, mediante el gaussiano de distribución acumulativa:

$$\mathbb{P}(F_{2,T} > F_{1,T}) = \mathcal{N}\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{T}} \left( \log\left(\frac{F_{2,0}}{F_{1,0}}\derecho) - \frac{\sigma_2^2 - \sigma_1^2}{2} \right) \right)$$

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