Bajo el modelo de Vasicek, el precio de un bono cupón cero está dada por
\begin{align*}
P(t, T) = A(t, T)\exp\big(-B(t, T) r_t\big),
\end{align*}
donde $A$ y $B$ son funciones deterministas. En particular,
$B$ es un positivo aumento de la función (véase cualquier libro sobre modelos de tipos de interés).
Entonces
\begin{align*}
\ln P(t, T) = \ln(t, T) - B(t, T) r_t.
\end{align*}
Para cualquiera de los cuatro vencimientos $T_1$, $T_2$, $T_3$, y $T_4$, donde $T_1 < T_2 <T_3 < T_4$,
\begin{align*}
\ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)} = \ln \frac{A(t, T_2)} {(t, T_1)} - [B(t, T_2)-B(t, T_1)] r_t,
\end{align*}
y
\begin{align*}
\ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)} = \ln \frac{A(t, T_4)} {(t, T_3)} - [B(t, T_4)-B(t, T_3)] r_t.
\end{align*}
Ahora es fácil comprobar que
\begin{align*}
Var\bigg(\ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)}\bigg) &= [B(t, T_2)-B(t, T_1)]^2 Var(r_t),\\
Var\bigg(\ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)}\bigg) &= [B(t, T_4)-B(t, T_3)]^2 Var(r_t),
\end{align*}
y
\begin{align*}
Cov\bigg(\ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)}, \ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)}\bigg) &= [B(t, T_2)-B(t, T_1)] [B(t, T_4)-B(t, T_3)]Var(r_t).
\end{align*}
Entonces
\begin{align*}
Corr\bigg(\ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)}, \ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)}\bigg) &= 1.
\end{align*}
Como hay tres parámetros del modelo, cualquiera de los dos bonos puede ser utilizada para la calibración de ellos (hay dos $Una$s y dos $B$s) y, a continuación, todos los precios de los bonos son conocidos.
Actualizaciones basadas en el cartel comentarios: Suponiendo que
\begin{align*}
dr_t = \alpha(r_t, t)dt + \beta(r_t, t) dW_t,
\end{align*}
donde $\{W_t \mediados de los t \geq 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano. Por otra parte, suponiendo que el bono cupón cero se define el precio por
\begin{align*}
P(t, T) = P(t, T, r_t).
\end{align*}
Entonces
\begin{align*}
dP(t, T) &= \frac{\partial P(t, T)}{\partial t}dt + \frac{\partial P(t, T)}{\partial r_t}dr_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(t, T)}{\partial r_t^2}\beta^2(r_t, t) dt\\
&=\bigg(\frac{\partial P(t, T)}{\partial t}+ \frac{\partial P(t, T)}{\partial r_t} \alpha(r_t, t) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(t, T)}{\partial r_t^2}\beta^2(r_t, t)\bigg)dt \\
&\qquad\qquad+ \frac{\partial P(t, T)}{\partial r_t}\beta(r_t, t)dW_t\\
&=P(t, T)\big[\mu(r_t, t, T)dt + \sigma(r_t, t, T)dW_t \grande],
\end{align*}
por cierto adaptado funciones $\mu(r_t, t, T)$ y $\sigma(r_t, t, T)$. Por otra parte,
\begin{align*}
Var\Big[dP(t, T)/P(t, T) \mid \mathcal{F}_t\Big] = \sigma^2(r_t, t, T) dt.
\end{align*}
Además, por $T_1$, $T_2$, donde $t < T_1 \leq T_2$,
\begin{align*}
Cov\Big[dP(t, T_1)/P(t, T_1),\, dP(t, T_2)/P(t, T_2) \mid \mathcal{F}_t\Big] = \sigma(r_t, t, T_1)\sigma(r_t, t, T_2) dt.
\end{align*}
Es decir,
\begin{align*}
Corr\Big[dP(t, T_1)/P(t, T_1),\, dP(t, T_2)/P(t, T_2) \mid \mathcal{F}_t\Big] = 1.
\end{align*}
En otras palabras, la instantánea de los rendimientos sobre los bonos de diferentes vencimientos están perfectamente correlacionados.
