Una de las variables de estado implica la perfecta correlación de los rendimientos?

Question

En Vasicek seminales 1977 papel "Un equilibrio caracterización de la estructura a plazo", afirma el bono precio de $P(t,s)$ es una función de el tipo de cambio de contado $r(t)$, $P(t,s) = P(t,s,r(t))$. Él entonces los estados

"Por lo tanto, el valor del tipo de cambio spot es la única variable para el conjunto de la estructura del plazo.

Bueno, hasta ahora tan bueno. Él continúa,

"Ya existe una única variable de estado, la instantánea los retornos sobre los bonos de diferentes vencimientos están perfectamente correlacionados.

No estoy seguro de por qué eso iba a seguir...podría conseguir esto se tradujo en matemáticas, con una explicación decente? Por último, afirma

Esto significa que la cortas en bonos y otro de bonos completamente ocupar la totalidad de la estructura a plazo."

¿Qué exactamente significa esto y por qué lo que él necesita?

Answer 1

Bajo el modelo de Vasicek, el precio de un bono cupón cero está dada por $$\begin{align*} P(t, T) = A(t, T)\exp\big(-B(t, T) r_t\big), \end{align*}$$ donde $A$ y $B$ son funciones deterministas. En particular, $B$ es un positivo aumento de la función (véase cualquier libro sobre modelos de tipos de interés). Entonces $$\begin{align*} \ln P(t, T) = \ln(t, T) - B(t, T) r_t. \end{align*}$$ Para cualquiera de los cuatro vencimientos $T_1$, $T_2$, $T_3$, y $T_4$, donde $T_1 < T_2 <T_3 < T_4$, $$\begin{align*} \ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)} = \ln \frac{A(t, T_2)} {(t, T_1)} - [B(t, T_2)-B(t, T_1)] r_t, \end{align*}$$ y $$\begin{align*} \ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)} = \ln \frac{A(t, T_4)} {(t, T_3)} - [B(t, T_4)-B(t, T_3)] r_t. \end{align*}$$ Ahora es fácil comprobar que $$\begin{align*} Var\bigg(\ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)}\bigg) &= [B(t, T_2)-B(t, T_1)]^2 Var(r_t),\\ Var\bigg(\ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)}\bigg) &= [B(t, T_4)-B(t, T_3)]^2 Var(r_t), \end{align*}$$ y $$\begin{align*} Cov\bigg(\ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)}, \ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)}\bigg) &= [B(t, T_2)-B(t, T_1)] [B(t, T_4)-B(t, T_3)]Var(r_t). \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} Corr\bigg(\ln \frac{P(t, T_2)}{P(t, T_1)}, \ln \frac{P(t, T_4)}{P(t, T_3)}\bigg) &= 1. \end{align*}$$

Como hay tres parámetros del modelo, cualquiera de los dos bonos puede ser utilizada para la calibración de ellos (hay dos $Una$s y dos $B$s) y, a continuación, todos los precios de los bonos son conocidos.

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Actualizaciones basadas en el cartel comentarios: Suponiendo que $$\begin{align*} dr_t = \alpha(r_t, t)dt + \beta(r_t, t) dW_t, \end{align*}$$ donde $\{W_t \mediados de los t \geq 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano. Por otra parte, suponiendo que el bono cupón cero se define el precio por $$\begin{align*} P(t, T) = P(t, T, r_t). \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} dP(t, T) &= \frac{\partial P(t, T)}{\partial t}dt + \frac{\partial P(t, T)}{\partial r_t}dr_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(t, T)}{\partial r_t^2}\beta^2(r_t, t) dt\\ &=\bigg(\frac{\partial P(t, T)}{\partial t}+ \frac{\partial P(t, T)}{\partial r_t} \alpha(r_t, t) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(t, T)}{\partial r_t^2}\beta^2(r_t, t)\bigg)dt \\ &\qquad\qquad+ \frac{\partial P(t, T)}{\partial r_t}\beta(r_t, t)dW_t\\ &=P(t, T)\big[\mu(r_t, t, T)dt + \sigma(r_t, t, T)dW_t \grande], \end{align*}$$ por cierto adaptado funciones $\mu(r_t, t, T)$ y $\sigma(r_t, t, T)$. Por otra parte, $$\begin{align*} Var\Big[dP(t, T)/P(t, T) \mid \mathcal{F}_t\Big] = \sigma^2(r_t, t, T) dt. \end{align*}$$ Además, por $T_1$, $T_2$, donde $t < T_1 \leq T_2$, $$\begin{align*} Cov\Big[dP(t, T_1)/P(t, T_1),\, dP(t, T_2)/P(t, T_2) \mid \mathcal{F}_t\Big] = \sigma(r_t, t, T_1)\sigma(r_t, t, T_2) dt. \end{align*}$$ Es decir, $$\begin{align*} Corr\Big[dP(t, T_1)/P(t, T_1),\, dP(t, T_2)/P(t, T_2) \mid \mathcal{F}_t\Big] = 1. \end{align*}$$ En otras palabras, la instantánea de los rendimientos sobre los bonos de diferentes vencimientos están perfectamente correlacionados.