Ecuación de consumo de Euler de log-linearización

Question

Estoy tratando de logaritzar la ecuación de consumo de Euler en el libro de Gali. Dice que:

Una aproximación logarítmica lineal de $Q_{t}= \beta E_{t}[( \frac {C_{t+1}}{C_{t}})^{- \sigma }( \frac {Z_{t+1}}{Z_{t}})( \frac {P_{t}}{P_{t+1}})]$ (1)

Pasé toda la noche tratando de aprender la logarítmica, así que puede ser por eso que mi respuesta no sea correcta, pero aquí está mi intento:

Reescribo $Q_{t}= \frac {1}{1+i_{t}}$ y así (1) se convierte:

$1= \beta E_{t}[(1+i_{t})( \frac {C_{t+1}}{C_{t}})^{- \sigma }( \frac {Z_{t+1}}{Z_{t}})( \frac {P_{t}}{P_{t+1}})]$

Tomando registros de ambos lados (asumo que puedo ignorar al operador de expectativas, aunque no estoy realmente seguro de por qué):

$0=ln( \beta ) + ln(1+i_{t})- \sigma [ln(c_{t+1}) - ln(c_{t})] + ln(z_{t+1}) - ln(z_{t}) + ln(P_{t}) - ln(P_{t+1})]$ (2)

Aproximando alrededor de los valores de estado estacionario:

$0=ln( \beta ) + ln(1+i^{*})+( \frac {1}{1+i^{*}})(i_{t}-i^{*})- \sigma [ln(c^{*})+( \frac {1}{c^{*}})(c_{t+1}-c^{*}) - ln(c^{*}) - ( \frac {1}{c^{*}})(c_{t}-c^{*})] + ln(z^{*}) + ( \frac {1}{z^{*}})(z_{t+1}-z^{*}) - ln(z^{*}) - ( \frac {1}{z^{*}})(z_{t}-z^{*})+ ln(P^{*}) + ( \frac {1}{P^{*}})(P_{t}-P^{*}) - ln(P^{*}) - ( \frac {1}{P^{*}})(P_{t+1}-P^{*})$

Eso fue bastante desordenado, pero espero que vean lo que estoy haciendo, una simple aproximación de primer orden alrededor del estado estable. Luego usé la ecuación (2) para cancelar algunos términos. Me quedé con:

$( \frac {1}{1+i^{*}})(i_{t}-i^{*})- \sigma ( \frac {1}{c^{*}})(c_{t+1}-c^{*}) + \sigma ( \frac {1}{c^{*}})(c_{t}-c^{*}) + ( \frac {1}{z^{*}})(z_{t+1}-z^{*}) - ( \frac {1}{z^{*}})(z_{t}-z^{*}) + ( \frac {1}{P^{*}})(P_{t}-P^{*}) - ( \frac {1}{P^{*}})(P_{t+1}-P^{*}) = 0$

Reescribir en términos de desviaciones del estado estable:

$ \tilde i_{t} - \sigma \tilde c_{t+1} + \sigma \tilde c_{t} + \tilde z_{t+1} - \tilde z_{t} + \tilde p_{t} - \tilde p_{t+1} = 0$

Puedo reorganizar esto en términos de $ \tilde c_{t}$ y poner en espera a los operadores, pero mi respuesta no coincide con la de Gali. Dice que:

$c_{t} = E[c_{t+1}] + \frac {1}{ \sigma }(i_{t} - E_{t}[ \pi_ {t+1}] - \rho ) + \frac {1}{ \sigma }(1- \rho _{z})z_{t} $

En primer lugar, no entiendo dónde $ \rho $ de donde vino, ya que no está en (1). Además, ¿estoy cometiendo un error en mi aproximación lineal? ¿No debería haber usado (2) para cancelar términos?

Acabo de aprender la logaritzación, así que mi método podría ser bastante ingenuo. Simplemente "registré" ambos lados, usé la aproximación de Taylor de primer orden alrededor del estado estacionario, cancelé los términos del paso de "registro" y resolví para el consumo.

¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Para simplificar las cosas, llamemos al lado derecho de tu ecuación inicial $X_t$ Entonces, empiezo como tú lo hiciste con

$1 = X_t$

La diferencia entre tu solución y la de Gali es que tú llevaste la expansión de Taylor

$ \log (1)=0=log(X_t)$ lo que implica que también el estado estacionario es igual a 0, por lo que podemos simplemente restarlo para obtener diferencias logarítmicas,

mientras que Gali usó

$1 = \exp ( \log (X_t))$ con un estado estable $1= \exp ( \log (X^*))$

Vamos a definir $x_t= \log (X_t)$ .

Por definición de la expansión de Taylor esto da

$T(1) = \exp (x^*)+ \exp (x^*)(x_t-x^*)$

Obsérvese que la función exponencial es idéntica a su derivada. Sabemos que $ \exp (x^*)=1$ desde arriba, así que podemos simplificar para

$T(1)=1+(x_t-x^*)$

En este punto, tienes razón en que el $ \rho $ anular. En lugar de definir $ \hat {x}_t=x_t-x^*$ pero Gali elige reemplazar $ \rho = \pi + \sigma \gamma -i$ que es la condición de estado estacionario, por lo que $ \rho $ se queda en el papel.

Nótese, sin embargo, que el "error de aproximación" de tomar las diferencias de los registros en lugar de la aproximación de Gali es minúsculo, es decir, para $ \beta =0.99$ es sólo $- \log (0.99) \approx 0.01$

¡Echa un vistazo al apéndice 2.1 del libro de Gali! Es bastante complicado, pero junto con este post, ¡espero que lo consigas!