Estoy teniendo problemas para llenar en un par de pasos de la derivación.
De Martin (2017), obtenemos los siguientes supuestos:
- Constante continuamente tasa $r$;
- El subyacente no paga dividens;
- Bajo el riesgo-neutral medida, el subyacente de la siguiente manera $dS_t = r S_t dt + \sigma_t dZ_t$.
La feria de la huelga en la varianza de swap con vencimiento en $T$ , entonces debe ser tal que $V = E^Q \left( \int_0^T \sigma_t^2 dt \right)$. Como Neuberger (1994), podemos observar que en virtud de la asunción (3), Ito Lema implica $(d ln S_t)^2 = \sigma_t^2 dt$, por lo tanto \begin{align} V &= E^Q \left( \int_0^T \sigma_t^2 dt \derecho) \\ &= 2 E^Q \left( \int_0^T \frac{1}{S_t}dS_t + \int_0^T dln S_t \derecho) \\ &= 2rT - 2 E^Q \left( ln \left( \frac{S_T}{S_0} \derecho) \derecho). \end{align}
Ahora, esto es decir que necesito el precio de un registro de contrato. Como Carr y Madan (1998) señala, una aplicación de Breeden y Litzenberger (1978) demuestra que cualquier función suave de un terminal de pago tal vez aproximar como: \begin{ecuación} V_0^f = f(\kappa) B_0 + f'(\kappa) (c_0(\kappa) - p_0(\kappa) ) + \int_0^\kappa f"(K) p_0(K)dK + \int_\kappa^\infty f"(K) c_0(K)dK \end{ecuación} donde $B_0$ es el precio actual de un puro de bonos descuento, $(p_0(K),c_0(K))$ son, respectivamente, el precio actual de pone y llamadas de huelga K, $\kappa$ es el punto sobre el cual la función se aproxima y todos aquellos valores madura en el tiempo $T$.
Según Martin (2017), que debe encontrar que el precio de un registro de contrato, $P_{log}$ debe verificar: \begin{ecuación} e^{rT} P_{log} := E^Q ln(S_T/S_0) = rT - e^{rT} \left( \int_0^{F_{0,T}} \frac{1}{K^2} p_0(K) dK + \int_{F_{0,T}}^\infty \frac{1}{K^2} c_0(K)dK \derecho) \end{ecuación} donde $\kappa = F_{0,T} := e^{rT} S_0$ es el punto alrededor del cual me aproximar el valor. Sustituyendo esta de nuevo en la ecuación anterior, obtenemos la justa huelga de una variación de intercambio como \begin{ecuación} V = 2 e^{rT} \left( \int_0^{F_{0,T}} \frac{1}{K^2} p_0(K) dK + \int_{F_{0,T}}^\infty \frac{1}{K^2}c_0(K)dK \derecho). \end{ecuación} Mientras que yo no vea que $f(F_{0,t}) = rT$, así como $f"(K) = -1/K^2$, qué es exactamente el primer fin de plazo null sobre $\kappa = F_{0,T}$? Si no me equivoco, por put-call parity, pone y pide en esta huelga debe ser un valor de la misma cosa.
Segunda pregunta: ahora que tengo la huelga de una variación de intercambio, ¿cómo puedo obtener la fórmula utilizada por el CBOE \begin{ecuación} \sigma^2 = \frac{2}{T} \sum_{i=0}^N \frac{\Delta K_i}{K_i^2} e^{rT} P(K_i) - \frac{1}{T}\left( \frac{F}{K_0} - 1 \right)^2 \end{ecuación} donde $P(K_i)$ es el punto medio de la bid-ask spread del put o call, excepto por $K_0$ donde es el promedio de la compra y de venta que están más cerca de ser el dinero, $(K_i)_{i=0}^N$ es una cuadrícula de precios de la huelga, $N + 1$ es el número de contratos, donde $F$ es un deseada adelante índice de nivel tal que $F = K + e^{rT}(c_0(K) - p_0(K))$ , donde recogemos los $K$ para minimizar $c_0(K) - p_0(K)$ y, por último, $K_0$ es la huelga más cercano huelga por debajo de $F$.
Yo que definimos el VIX como $VIX^2(0,T) := \frac{1}{T} V$, pero yo realmente no sé cómo se te ocurrió con el VIX fórmula de arriba. Puedo ver que el primer plazo aproximado de una integral, pero yo realmente no sé dónde está el segundo término viene de.
