Ito integral de aproximación por Euler?

Question

Me estaba preguntando cómo encontrar la solución de la siguientes integral estocástica:

$$dY_{t}=a(W_{t},Y_{t})dW_{t}+b(W_{t},Y_{t})dZ_{t}$$ o en la notación de la integral $$Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}un(W_{s},Y_{s})dW_{s}+\int_{0}^{t}b(W_{s},Y_{s})dZ_{s}$$

donde $W_{t}$ y $Z_{t}$ son dos independientes Wiener procesos. Puedo aproximado de este con el esquema de Euler? Si es así, ¿cómo puedo saber lo que realmente le convergen. Si no, hay alguna manera de encontrarlo?

Cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Usted puede escribir como $$ \left(\begin{array}{c}dY_t\\ dX_t\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}\alpha(X_t, Y_t)& \beta(X_t,Y_t)\\ 1 & 0\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c}dW_t\\ dZ_t\end{array} \right) $$ y la verificación de que el Rodillo de condiciones (Lipschitz?) como Richard señalado en la matriz tal vez?

Si es $$ \left(\begin{array}{c}dY_t\\ dX_t\end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}X_t Y_t& 1-X_t Y_t\\ 1 & 0\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c}dW_t\\ dZ_t\end{array} \right) $$ Yo creo que debe estar bien.