¿Están todos los cambios de medidas para los procesos de difusión continua dados por el cambio de deriva?

Question

En las discusiones elementales sobre el cambio de medida para el movimiento browniano geométrico, a menudo se encuentran afirmaciones como "cambio de medida = cambio de deriva". Dado un proceso general de difusión continua de la forma

$$ dX_t = \mu(X_t,t,\theta)dt + \sigma(X_t,t,\theta)dW_t $$

¿sigue siendo cierto que el cambio de medida siempre viene dado únicamente por el cambio de deriva $\mu(X_t,t,\theta)$ ? Además, ¿es la derivada de Radon-Nikodym para este cambio de medida siempre única y siempre dada por la exponencial de Doléans-Dade?

Si pienso en el cambio de medida como un cambio de variable, entonces realmente no hay restricciones sobre cómo se puede transformar, digamos, una variable normal $X$ : uno puede simplemente desplazarlo (es decir $Y = a + X$ que correspondería al cambio de deriva) o se puede escalar y desplazar (es decir $Y = a + bX$ que también cambiaría la desviación estándar o "volatilidad"), o aplicar cualquier otra transformación y seguir teniendo una densidad de probabilidad válida $f_Y$ para la variable transformada $Y$ con el correspondiente "cambio de medida" dado por $\frac{f_Y}{f_X}$ . Entonces, ¿qué nos impide hacer lo mismo en el caso del proceso de difusión? ¿Por qué parece que sólo hablamos de cambio de deriva?

Answer 1

He leído que para los procesos de difusión, efectivamente la volatilidad debe conservarse bajo un cambio de medida. Esta vieja pregunta parece ser relevante :

Versión del teorema de Girsanov con volatilidad cambiante

En particular, cito la respuesta anterior una medida de probabilidad asigna una probabilidad relativa a diferentes trayectorias del movimiento browniano. La varianza del proceso Ito se puede recuperar a partir de la forma de una sola trayectoria (variación cuadrática), por lo que no depende de la probabilidad relativa de las trayectorias, por lo tanto, no depende de la elección de la medida de probabilidad.

En otras palabras, el cambio de medida es un proceso de asignación de probabilidades diferentes a las anteriores al mismo conjunto de resultados posibles. Cuando se cambia el coeficiente de difusión, se cambia el conjunto de resultados posibles. Por lo tanto, no está permitido.

Answer 2

El cambio de medida y el cambio de variable son dos cosas distintas. En el cambio de medida, se mantiene la misma variable y se redistribuye la probabilidad. Mantener la misma variable es la clave del concepto. Esto induce un cambio de deriva. Lo cual es una ayuda enorme porque una vez que se puede manipular la deriva entonces todo se vuelve fácil. Por ejemplo, se puede utilizar la teoría de la martingala para analizar los procesos.

Hay otra transformación, llamada transformación de Lamperti que no se conoce comúnmente por este nombre, que puede ser utilizada para cambiar el coeficiente de difusión, aunque he visto que se utiliza en 1 dimensión solamente.