Gamma PnL de Itô del Lema de la derivación

Question

El cambio en una llamada de la cartera ($f$), derivado de Itô del Lexema, es: \begin{align*} \left( \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\mathrm{d}t &=r\left( f-r\frac{\partial f}{\partial S}\derecho)\mathrm{d} t, \\ \implica\frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} -rf&=0 \end{align*}

donde $\frac{\partial f}{\partial t}$ denota theta, $\frac{\partial f}{\partial S}$ denota delta y $\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}$ denota gamma.

Así gamma de PnL sería $\frac{1}{2}\Gamma \sigma^2 \mathrm{d}S^2$, donde $\mathrm{d}S^2$ es el precio del subyacente del cambio.

Pero, ¿por qué es el gamma de la PnL en realidad $\frac{1}{2}\Gamma \mathrm{d}S^2$, y no la fórmula anterior? Por qué no a la volatilidad de ser incluido gamma de la PnL?

Answer 1

$$ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} dS^2 \approx \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} dt$$

(para pequeñas $dt$, ignorando $(dt)^2$ términos )

$\sigma$ está incrustado en $dS = \mu S dt + \sigma S dW$y $$ dS^2 = \mu^2 S^2 dt^2 + 2\mu \sigma S^2 dt dW + \sigma^2 S^2 dt \approx \sigma^2 S^2 dt$$

Recogió $1/2\Gamma \sigma^2$ de la PDE y para algunos (desconocido) razón por la que multiplicado por $dS^2$. Sólo se puede multiplicar por $S^2$ como en el PDE (para obtener PnL por unidad de tiempo) o por $S^2 dt$ como en el SDE (para obtener dólar PnL).