Elección de la prueba estadística adecuada para la evaluación del rendimiento de los fondos de inversión

Question

¿Cómo sugiere que lo haga?

Me gustaría realizar una prueba estadística para comprobar si:

• el alfa agregado de todos los fondos es igual a 0.
• la beta agregada de todos los fondos es igual a 1.

Datos

• Muestra de 1000 fondos de inversión durante el periodo de 1990 a 2017. Hago una regresión del fondos el exceso de rendimiento mensual sobre la tasa libre de riesgo contra el modelo de cuatro factores de Carhart (1997).

Dilema

Ya que vuelvo a hacer una regresión individual de los fondos sobre los parámetros de riesgo. Ahora tengo 1000 alfa, 1000 beta,...

Software

• Stata

Cómo pienso hacerlo

• Hago una regresión individual de cada exceso de rentabilidad de los fondos frente a los factores de riesgo; y guardo los coeficientes de la regresión (alfa, beta, smb, hml y mom) y sus errores estándar para calcular el estadístico t de los coeficientes.

Answer 1

Definir el exceso de rendimiento $r^x_{it} = r_{it} - r^f_{t}$ como el retorno $i$ menos el tipo libre de riesgo, y $f_{jt}$ denota de forma similar el exceso de rentabilidad del factor $j$ en el momento $t$ . Digamos que tenemos algún modelo de factor de rendimientos donde:

$$ r^x_{it} = \alpha_i + \sum_j \beta_{i,j} f_{jt} + \epsilon_{it}$$

Prueba F / Prueba GRS

Si asumimos los términos de error $\epsilon_{it}$ siguen la distribución normal, no están correlacionados a lo largo del tiempo y son homoscedásticos, se puede utilizar una prueba F estándar para la hipótesis de que $\alpha_i = 0$ para todos $i$ . Las finanzas lo llaman la prueba GRS por Gibbons, Ross y Shanken, que la aplicaron originalmente a la fijación de precios de los activos. Un estadístico puede verlo como una forma de Prueba F . Siguiendo una notación similar a la de Cochrane (2005):

• Dejemos que $\tau$ sea el número de períodos de tiempo de sus datos.
• Dejemos que $\Sigma_f$ ser un $k \times k$ matriz de covarianza de muestra de sus factores.
• Dejemos que $\Sigma$ ser un $n \times n$ matriz de covarianza de muestra de sus residuos $\epsilon_{it}$ .
• Dejemos que $\boldsymbol{\alpha} = \begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \ldots \\ \alpha_n \end{bmatrix}$ sea un vector de sus alfas.
• Dejemos que $\boldsymbol{\mu_f}$ ser un $k \times 1$ vector que da los rendimientos medios muestrales de los factores.

La estadística de la prueba GRS viene dada por:

$$ f_{GRS} = \left( \frac{\tau - n - k}{n}\right) \frac{\boldsymbol{\alpha}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{\alpha}}{ 1 + \boldsymbol{\mu_f}' \Sigma_f^{-1} \boldsymbol{\mu_f}} $$ donde la estadística de la prueba $f_{GRS}$ sigue el $F$ distribución:

$$ f_{GRS} \sim F\left(n, \tau - n - k \right)$$

$\chi^2$ prueba

Dejando de lado la suposición de que los términos de error se distribuyen normalmente, existe un estadístico de prueba que se aproxima asintóticamente al $\chi^2$ distribución. Sea $n$ sea el número de activos de prueba, y que $T$ sea el número de periodos de tiempo. Definir la estadística de la prueba $J$ como:

$$ J = T \frac{\boldsymbol{\alpha}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{\alpha}}{ 1 + \boldsymbol{\mu_f}' \Sigma_f^{-1} \boldsymbol{\mu_f}} $$ $J$ sigue el $\chi^2$ distribución con $n$ grados de libertad:

$$ J \sim \chi^2\left(n \right)$$ Cochrane (2005) muestra cómo derivar la estadística de la prueba como un caso especial de la Prueba de Sargan-Hansen J . También puede examinar las notas de Cochrane aquí .

Residuos colineales

Si algunos de sus retornos de prueba son esencialmente el mismo retorno, entonces usted va a tener un rango deficiente $\Sigma$ matriz. Utilice la pseudoinverso $\Sigma^+$ en lugar de la inversa $\Sigma^{-1}$ y utilizar $n$ como el número de activos linealmente independientes. Este $n$ se puede estimar realizando un descomposición del valor singular de $\Sigma$ y contando el número de valores singulares por encima de algún umbral. (Así es como MATLAB y algunos otros paquetes estiman la matriz rango .)

Discusión:

Generalmente lo que se encuentra con cualquiera de estas pruebas F o $\mathcal{X}^2$ pruebas es que la hipótesis de que todas las alfas son cero es por abrumadora mayoría rechazado. ¿Qué significa eso?

Una posibilidad es que el modelo de rendimientos esté mal especificado, que el modelo de cuatro factores de Carhart o lo que sea que estés utilizando no describa perfectamente la distribución conjunta de los rendimientos. Estos modelos de factores funcionan más o menos (en el sentido de que son útiles), pero tampoco son tan precisos.

Si se comprueba que los fondos de inversión tienen un alfa distinto de cero en relación con este modelo de fijación de precios de los activos, significa:

1. Algunos fondos de inversión tienen una habilidad positiva (y/o algunos tienen una habilidad negativa)? habilidad)?
2. ¿Que tenemos un modelo de valoración de activos equivocado?

Los dos no son realmente distinguibles.

También hay un famoso dicho de Caja que todos los modelos son erróneos, pero algunos son útiles. En general, se puede rechazar estadísticamente cualquier modelo de valoración de activos con los activos de prueba adecuados. Que el modelo sea útil es un debate más matizado.

¿Probando las betas?

¿Parece que quiere probar un valor beta de mercado de peso de 1? No veo cómo esto es en absoluto útil. Mecánicamente la beta de mercado de la ponderación del valor en todos los valores debe ¡ser uno! Me cuesta ver la utilidad de esto.

Bootstrapping

Otro enfoque para crear estadísticas de prueba consistentes es el arranque .

Por ejemplo, Fama y French (2010) construyen simulaciones bootstrap de la distribución de los rendimientos de los fondos de inversión que se esperarían bajo una hipótesis de alfas nulas bajo el modelo de tres factores de Fama French.

Referencias

Cochrane, John, Precios de los activos , 2005, p. 230 enlace

Fama, Eugene y Kenneth French, "Luck versus Skill in the Cross-Section of Mutual Fund Returns", Revista de Finanzas

Answer 2

Bueno, también se puede determinar cuál es la distribución de su $\alpha$ y $\beta$ y encontrar qué fondos ofrecen un rendimiento significativo con respecto a la distribución global. Sin las hipótesis de distribución de los coeficientes, no se puede probar nada.