¿Por qué algunas funciones de utilidad ampliamente utilizado?

Question

Hay algunos von-Neumann funciones de utilidad que me encuentro muy a menudo en diferentes artículos / libros como: $ U(x)=\ln(x)$, $U(x)= \frac {1}{\gamma}x^\gamma$ con $\gamma <1$ y $U(x)=\frac {1-\gamma}{\gamma}(\frac{\alpha x}{1-\gamma} +\beta)^{\gamma}$ sujeto a las restricciones $\gamma \neq 1, \frac{\alpha x}{1-\gamma} +\beta >0$ y $\beta=1$ si $\gamma=-\infty$.

Mi pregunta es: ¿por Qué son las funciones que a menudo? No es como que son sólo "simple" cóncavo y el aumento de las funciones de ahí fuera?

Así que supongo que debe haber algunas propiedades específicas que la hacen interesante?

Answer 1

Estos son una fácil y natural (más manejable matemáticamente) la elección.

Una función de utilidad se define a una positiva transformación afín: económicamente no hay ninguna diferencia entre las funciones de utilidad $U(x)$ y $\tilde{U}(x)=Au(x)+B$. Por lo tanto, una medida de la aversión al riesgo que permanece constante w.r.t. transformaciones afines, sería útil. ¿Cómo construir una medida de esa índole? Así, la forma más sencilla es considerar la expresión $$A(x)= -\frac{U"(x)}{U'(x)}$$ una.k.una. ARA (Arrow–Pratt medida de absoluta aversión al riesgo). ARA permanece la misma en virtud de transformaciones afines y mide el grado de aversión al riesgo - la curvatura de la función de utilidad. El recíproco de la ARA mide el nivel de tolerancia al riesgo, y un simple caso especial es cuando es una función lineal de la riqueza: $$T(x)=\frac{1}{A(x)}=\frac{x}{1-\gamma}+\frac{b}{a}.$$ Ahora, ¿cuáles son las funciones de utilidad tal que el correspondiente nivel de tolerancia al riesgo es lineal? Estas son las soluciones a la educación a distancia $$-\frac{U'(x)}{U"(x)}=\frac{x}{1-\gamma}+\frac{b}{a}$$ que se sabe para ser resueltos en forma cerrada. La única solución (hasta la transformación afín!) para que la ecuación tiene la forma $$\qquad U(x)=\frac{1-\gamma}{\gamma}\left(\frac{ax}{1-\gamma}+b \derecho)^\gamma.\qquad(1)$$ Existen otras soluciones que difieren de (1) por aditivas y/o multiplicativas constantes, pero estos no afectan el comportamiento implícita en la función de utilidad. (1) se conoce como la hiperbólica absoluta aversión al riesgo.

Las otras funciones de utilidad que usted ha mencionado son sólo de las especificaciones (1). En particular, suponiendo que $b=0$ se obtiene el isoelastic utilidad: $$\quad\qquad U(x) = \begin{casos}\frac{x^\gamma-1}{\gamma},\quad \gamma\neq 0 \\ \ln(x), \quad \gamma =0 \end{casos}\qquad\quad (2)$$ (2) también es el único ejemplo de funciones de utilidad con la constante relativa de la aversión al riesgo $$R(x)=xA(x)=1-\gamma.$$

Answer 2

Las funciones que se establecen para que la maximización de la expectativa de la función de utilidad de cumplir con el de von Neumann-Morgenstern axiomas (completitud, transitividad, la independencia, la continuidad). Como usted ha señalado, la convexidad es también un comportamiento deseado y, ciertamente, usted puede venir para arriba con otras funciones.