Modelo Vasicek: simulación conjunta con factor de descuento

Question

En el modelo de Vasicek, tenemos la siguiente relación para obtener los factores de descuento dado el valor del tipo corto: $$P(t\,,T)={{e}^{A(t,T)\,-\,B(t,T){{r}_{t}}\,}}$$

Así pues, los factores de descuento se conocen tan pronto como se conoce el tipo de interés a corto plazo. Pero luego en algunas referencias como Glasserman (pg. 115) hay toda una subsección sobre " Simulación conjunta [del tipo corto] con el factor de descuento " donde habla de simular el par $$({r}_{t},\int_{0}^t{r(u)}du)$$ .

El libro de Piterbarg también tiene algo parecido. Así que mi pregunta es: ¿por qué necesitamos simular el factor de descuento si tenemos un resultado analítico exacto?

Answer 1

Aunque hace tiempo que se hizo esta pregunta, me gustaría proponer una respuesta por si alguien buscaba lo mismo.

En primer lugar, creo que hay una confusión entre $P(t,T)$ y $DF(t,T)$ . El primero es el $t-$ precio de un contrato que paga $1$ unidad monetaria en la fecha $T$ mientras que el segundo es el factor de descuento (estocástico) en $t$ para los flujos que se producen en $T$ . Ambos están vinculados por la relación $$ P(t,T)=\mathbb{E}^Q[DF(t,T) | \mathcal{F}_t]$$

Si $r_t$ es la tasa corta instantánea, entonces $DF(t,T)$ viene dada por $$ DF(t,T)=e^{-\int_t^T r_s ds}$$ y es una variable aleatoria.

Ahora, el argumento de Glasserman es sobre la computación $\int_t^T r_s ds$ . En teoría, ya que uno tiene $r_t$ hasta la madurez en un camino dado, esto es sólo cuestión de hacer una suma de Riemann. Sin embargo, esto puede ser muy "ruidoso" debido a los errores de discretización. Resulta que, como menciona AXH, $(r_t, \int_t^T r_s ds)$ son conjuntamente gaussianos y pueden ser simulados con precisión.