Cobb-Douglas función de producción, dado $w$ obtener $r$, independientemente de los niveles de entrada. Por qué?

Question

Hay una economía de mercado con una tecnología dada por:

$$ $ Y = K^\alpha L^{1-\alpha} \etiqueta{1}$$

Las empresas se comportan de manera competitiva y los precios de los insumos son:

$$r = \alpha K^{\alpha-1 L}^{1-\alpha} = \alpha(\frac{L}{K})^{1-\alpha} \etiqueta{2} $$

$$w = (1-\alpha) K^\alpha L^{-\alpha} = (1-\alpha) (\frac{L}{K})^{-\alpha} \etiqueta{3}$$

Puedo resolver para $\frac{L}{K}$, y obtener la siguiente expresión:

$$r = \alpha (1-\alpha)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}w^{\frac{\alpha-1}{\alpha}} \etiqueta{4}$$

Que es una función que vincula los precios de forma independiente de las entradas de combinación.

1) ¿Es correcto esto?

2) ¿Cuál es la interpretación económica del último resultado?

Answer 1

Este es un problema sutil. Primero vamos a presentar un ejemplo numérico para ver la cabeza-rascarse la adivinanza. Suponga que $$\alpha =1/2 \implica Y = K^{1/2}L^{1/2}$$

y que el exógenamente determinado los precios de los insumos son

$$r=1/8,\,\, w=4.$$

La f.o.c

$$\begin{casos} \frac {Y}{2K} = 1/8 \\ \\ \frac{Y}{2L} = 4 \end{casos} \implica K/4 = 8L \implica \left(L/K\derecho)^* = 1/32$$

Esto nos da el valor de $L/K$ que satisface tanto las condiciones de la orden.

Pero vamos a seguir el OP de la lógica, y escribir o resolver la f.o.c. como

$$\begin{casos} \frac {K^{1/2}L^{1/2}}{2K} = 1/8 \\ \\ \frac{K^{1/2}L^{1/2}}{2L} = 4 \end{casos} \implica \begin{casos} \frac {L}{K} = 1/16 \\ \\ \frac{L}{K} = 1/64 \end{casos}$$

Oops. El sistema que ahora parece imposible. Pero parece que por encima de nosotros hemos resuelto el mismo sistema. Y no hicimos nada ilegal operación matemática, como la división por cero o nada, así que ¿cómo es posible la obtención de los anteriores resultados contradictorios?...

Pero, de hecho, hicimos algo "ilegal", aunque no en términos de operaciones matemáticas en el sentido estricto de la palabra: mediante la resolución de cada una de las f.o.c. por separado con respecto a $L/K$ hemos transformado en un problema de optimización de una función bivariante que conduce a un sistema con dos incógnitas y dos ecuaciones, en un problema de resolver un sistema con un desconocido ($L/K$), y dos ecuaciones.
No es de extrañar entonces que se tiene una solución única para combinaciones específicas de los parámetros exógenos, que se expresa por la eq. $(4)$ de la OP. Pero esto ya no es maximizar las ganancias problema de la competitividad de la empresa.

Otra manera de decirlo es que, dado que lo que es tratada como exógena aquí es el precio de los insumos, no todas las entradas relaciones de satisfacer la f.o.c.

Answer 2

Una aclaración: Los valores $w,r$ no son independientes de entrada combinaciones: que ya se han resuelto por $K/L$.

1) a Menos que usted asuma que el precio de la salida es igual a 1, hay un pequeño error, ya que los precios de la producción afectan el factor de los precios.

2) Si hay un beneficio maximizar el par $(K,L)$, entonces para todo $\alpha \in \mathbb{R}_+$ $(\alpha K,\alpha L)$ también será maximizar las ganancias. Esto es debido a que la función de producción está mirando tiene rendimientos constantes a escala (CRS).

Una consecuencia de CRS es que si la función es diferenciable entonces ambos marginal de los productos será homogénea de grado cero, por lo tanto $r$ y $w$ sólo determinar los coeficientes de $K$ y $L$, no su nivel.

Answer 3

El sistema de FOC del problema de maximización de beneficios cuando la función de producción es constante retorno a escala es un sistema degenerado. Para una buena explicación de ver esto. En definitiva, significa que el sistema de dos ecuaciones en dos desconocidos es en realidad un sistema de dos ecuaciones en un desconocido, que en este caso es $\frac{K}{L}$.

La solución a este problema para satisfacer las necesidades de ambas ecuaciones (2) y (3), y esto ocurre sólo si la ecuación (4) es satisfecho.

Por lo tanto, responder a la pregunta principal, dado un precio, el otro se identifica por la ecuación (4). Dado un precio, para determinar los otros, es suficiente saber que el tecnológico de parámetro, en este caso, esto es sólo $\alpha$.