La derivación de la demanda de bienes intermedios en el modelo DSGE

Question

Soy auto-estudio de Herbst-Schorfheide libro sobre DSGE estimación y problemas a la hora de replicar sus pasos en la derivación de la demanda de bienes finales de las empresas (Ungated modelo es aquí, en la página 3: http://ink.library.smu.edu.sg/cgi/viewcontent.cgi?article=1361&context=soe_research). Su final de productores de bienes de maximizar la función de beneficios:

$\Pi_t = P_t (\int_0^1 Y_t(j)^{1-\nu} dj)^\frac{1}{1-\nu} - \int_0^1 P_t (j) Y_t(j) dj$

y obtener la demanda:

$Y_t(j) = (\frac{P_t(j)}{P_t})^{-\frac{1}{\nu}} Y_t$

Mi problema es que no puedo entender derivación pasos: cómo FOC parece y por qué? Ayuda se agradece mucho!

Answer 1

Por lo que he visto este tipo de cosas donde básicamente se diferencian con respecto a cada uno de los Y_j por lo que la integral en gotas (visto en el riesgo moral en el capítulo de GTH y Romer modelo de crecimiento endógeno).

El foc se convierte en:

$P_t(Y_t(j)^{(1-v)})^{v/(1-v)}Y^{v}-P_t(j)=0$

Este obtiene el resultado.

Answer 2

Para resolver el problema usted también necesita la ecuación:

$Y_t=\left(\int_0^1 Y_t(j)^{1-\nu} \ dj \derecho)^{\frac{1}{1-\nu}}$

Ahora, el FOC es el mismo para cada $Y_t(j)$, así que sólo tenemos que diferenciar de una vez. La aplicación de la regla de la cadena obtenemos:

$\frac{\partial \Pi_t}{\partial Y_t(j)}=P_t \left(\int_0^1 Y_t(j)^{1-\nu} \ dj \derecho)^{\frac{\nu}{1-\nu}} Y_t(j)^{-\nu}-P_t(j)=0$

En este punto, el truco de el comercio es que

$\left(\int_0^1 Y_t(j)^{1-\nu} \ dj \derecho)^{\frac{\nu}{1-\nu}}$, que es una parte de la FOC, equivale a $Y_t^{\nu}$ (consulte la primera ecuación)

Configuración $\left(\int_0^1 Y_t(j)^{1-\nu} \ dj \derecho)^{\frac{\nu}{1-\nu}}= Y_t^{\nu}$ en el FOC, y resolver por $Y_t(j)$ le dará el resultado deseado.