Dejemos que $\tau_{(1)} = \min(\tau_1, \ldots, \tau_K)$ sea el tiempo de primer defecto. Además, para $1< m \le K$ , dejemos que \begin{align*} \tau_{(m)} = \min\left(\tau_k: k=1, \ldots, K, \tau_{k} > \tau_{(m-1)}\right). \end{align*} sea el $m^{\rm th}$ -hasta el tiempo de espera. En particular, $\tau_{(K)} = \max(\tau_1, \ldots, \tau_K)$ . Tenga en cuenta que, para $t \ge 0$ , \begin{align*} P\left(\tau_{(1)} > t\right) &= \prod_{i=1}^K P(\tau_i > t)\\ &=e^{-K \lambda t}. \end{align*} Entonces, la función de densidad es de la forma \begin{align*} \frac{d P\left(\tau_{(1)} \le t\right)}{dt} &= K \lambda\, e^{-K \lambda t}. \end{align*} En general, para $1 \le m \le K$ El evento $\left(\tau_{(m)} > t\right)$ ocurre mientras haya $K-m+1$ los impagos se producen más tarde que el tiempo $t$ , mientras que el resto $m-1$ por defecto ocurre antes que $t$ . Es decir, \begin{align*} P\left(\tau_{(m)} > t\right) &= \sum_{j=K-m+1}^K \sum_{\pi \in \Pi_j}\prod_{i_k \in \pi}P(\tau_{i_k} > t) \prod_{i_l \not\in \pi}P(\tau_{i_l} \le t)\\ &=\sum_{j=K-m+1}^K {K \choose j} e^{-j\lambda t} \Big(1-e^{-(K-j)\lambda t} \Big), \end{align*} donde $\Pi_j$ denota la familia de subconjuntos de $(1, \ldots, K)$ que consiste en $j$ elementos. Aquí, $ \prod_{i_l \not\in \pi}P(\tau_{i_l} \le t)=1$ , si $j=K$ . La función de densidad viene dada entonces por \begin{align*} \sum_{j=K-m+1}^K {K \choose j} \lambda\, e^{-j\lambda t}\Big(j-Ke^{-(K-j)\lambda t} \Big). \end{align*} A continuación consideramos el caso del primer impago, es decir, $m=1$ . El general $m^{\rm th}$ -El caso de los defectos es similar, basado en la función de densidad anterior.
Dejemos que $R$ sea el índice de recuperación (por ejemplo, R = 40 %). Tenga en cuenta que el pierna por defecto también se denomina pierna de protección .
Pierna por defecto. El valor del tramo por defecto, si suponemos que el pago por defecto se realiza en el momento del incumplimiento, viene dado por \begin{align*} (1-R)N \, E\Big( D\big(\tau_{(1)}\big) 1_{0 < \tau_{(1)} \le T} \Big) &= (1-R)N K \lambda \int_0^T e^{-(r+K \lambda)t}dt\\ &=\frac{(1-R)N K \lambda}{r+K \lambda}\left(1- e^{-(r+K \lambda)T}\right). \end{align*} Sin embargo, si suponemos que el pago por defecto se realiza en la siguiente fecha de pago de la prima, el valor del tramo por defecto viene dado por \begin{align*} (1-R)N \, E\left(\sum_{j=1}^M D(T_j) 1_{T_{j-1} < \tau_{(1)} \le T_j} \right) &= (1-R)N K \lambda\sum_{j=1}^M e^{-rT_j} \int_{T_{j-1}}^{T_j} e^{-K \lambda t}dt\\ &=(1-R)N \sum_{j=1}^M e^{-rT_j} \left(e^{-K \lambda T_{j-1}} - e^{-K \lambda T_j}\right). \end{align*}
Pierna Premium. Para $j=1, \ldots, M$ , dejemos que $\Delta T_j = T_j - T_{j-1}$ . Suponemos que la prima $s$ para el período de pago $(T_{j-1}, \, T_j]$ $(j=1, \ldots, M)$ se paga en la fecha de finalización $T_j$ . Además, el intereses devengados hasta el impago , $s(\tau_{(1)}-T_{j-1}) 1_{T_{j-1} < \tau_{(1)} \le T_j}$ también se paga en $T_j$ . Entonces el valor del tramo de la prima viene dado por \begin{align*} &\ N s E\left(\sum_{j=1}^M D(T_j) \Big[\Delta T_j 1_{\tau_{(1)} > T_j} + \big(\tau_{(1)}-T_{j-1}\big) 1_{T_{j-1} < \tau^* \le T_j} \Big] \right) \\ =& \ N s\sum_{j=1}^M e^{-r T_j} \bigg[\Delta T_j e^{-K \lambda T_j} + K \lambda \int_{T_{j-1}}^{T_j}(t-T_{j-1})e^{-K \lambda t} dt \bigg]\\ \approx& \ N s\sum_{j=1}^M e^{-r T_j} \bigg[\Delta T_j e^{-K \lambda T_j} +\frac{\Delta T_j}{2} \left(e^{-K \lambda T_{j-1}} - e^{-K \lambda T_j}\right) \bigg]. \end{align*} Para el último paso, suponemos básicamente que, si el impago se produce, lo hace en mitad del periodo de pago.
