¿Medición de un estimador insesgado para la varianza con RMSE?

Question

El error medio cuadrático (RMSE) es considerada por algunos como la mejor medida de la calidad de una estimación de la varianza . A menudo se ve citado como:

$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\hat{\sigma_i} - \sigma_i)^2}$

Donde $\hat{\sigma}$ es la estimación de la volatilidad mientras que $\sigma$ es la volatilidad real.

Mi pregunta es: ¿qué es $\sigma$ en este caso? Supongamos que $\hat{\sigma}$ es la volatilidad realizada del día anterior (es decir, la $RV = \sum_{t=0}^N r_t$ donde $r_t$ es el rendimiento de 5 minutos), ¿la volatilidad real es sólo el rendimiento absoluto del día siguiente?

Answer 1

El error medio cuadrático está relacionado con la eficiencia. No se limita a los estimadores insesgados, a menos que se añada esa restricción. Si no lo hicieras, descubrirías que el estimador de máxima verosimilitud o el estimador bayesiano tendrían, en el caso general, una pérdida cuadrática menor.

Por un momento, ignoremos $\sigma$ como medida de la volatilidad y generalizarla a $\theta$ un parámetro de interés. Puede ser un centro de localización, una medida de escala, forma, sesgo, curtosis o cualquier otra cosa, incluyendo un fractil o un cuantil.

Si $\hat{\theta}$ es un estimador, entonces la eficiencia de un estimador es $E[(\hat{\theta}-\theta)^2].$ El RMSE es sólo una transformación.

En el caso de $E[(\hat{\sigma}_t-\sigma_t)^2]$ El $\hat{\sigma_t}$ es la volatilidad realizada, que obviamente es observable. El $\sigma_t$ es la volatilidad verdadera, pero no observable, de ese día. Es un parámetro y no se conoce.

He creado un código en R para generar mil muestras de tamaño diez de la distribución normal estándar para que puedas verlas gráficamente. Me olvidé de establecer la semilla, pero para este gráfico, el MSE para el Estimador de Máxima Verosimilitud (MLE) fue de .19677 mientras que el MSE para el estimador insesgado de Pearson y Neyman (PN) fue de .22797. El estimador insesgado era aproximadamente un 15,8% menos eficiente, pero era intrínsecamente más preciso. El compromiso es entre la precisión y la exactitud.

Gráficamente, la diferencia en los estimadores fue

Obsérvese que el RMSE se estima a veces en economía hallando el RMSE de lo real menos una predicción. Tenga en cuenta que es un estimador sesgado del RMSE de la población.

library(ggplot2)
library(export)
rm(list = ls())

x<-matrix(rnorm(10000),ncol = 1000,nrow = 10)

variance_ML<-function(A){
n<-length(as.vector(A))
  x_bar<-sum(A)/n
  variance<-sum((A-x_bar)**2)/n
  return(variance)
}

variance_PN<-function(A){
  n<-length(as.vector(A))
  x_bar<-sum(A)/n
  variance<-sum((A-x_bar)**2)/(n-1)
  return(variance)
}

MLE<-apply(x,2,variance_ML)

PN<-apply(x,2,variance_PN)

MSE_MLE<-sum((MLE-1)**2)/length(MLE)

MSE_PN<-sum((PN-1)**2)/length(PN)

graphical_frame<-data.frame(MLE,PN)

g<-ggplot(data = graphical_frame)+geom_density(aes(x=MLE),kernel="gaussian",color="red",show.legend = TRUE)+geom_density(aes(PN),kernel="gaussian",color="blue",show.legend = TRUE)
h<-g+labs(title = "Density Estimate of MLE(Red) and Pearson-Neyman Unbiased Estimator (Blue)",x="Estimator",y="Density")

graph2png(h,file="TBD")

Answer 2

Yo también estoy estudiando esto.

Desde Ait-Sahalia, Mykland y Zhang (2005) , simplemente asumieron una $\sigma$ = 30% del precio de las acciones.

Desde Bandi y Russell (2008) En el caso de los precios de las acciones, calcularon la desviación estándar durante un periodo bastante más largo que el subintervalo de muestreo, por ejemplo, 1 día = 6,5 horas de negociación. A continuación, redujeron la desviación estándar a la unidad del subintervalo de muestreo, por ejemplo, 1 minuto, para $\sigma$ .