Valor (precio) de defaultable bono cupón cero con el riesgo de crédito que participan

Question

Estoy tratando de derivar el Valor (precio) de defaultable bono cupón cero, pero hay algunos pasos (matemáticas) entre los que no puedo averiguar.

El valor predeterminado de modelado de procesos, tenemos:

$$P(t ≤ \tau < t+dt | \tau > t ) ≈ h_tdt$$

y:

$$P( \tau > t ) = \exp\left(-\int_0^t h_s ds\right)$$

Por lo tanto la combinación de ambos, la probabilidad incondicional:

$$P(t ≤ \tau < t+dt ) = h_t\exp\left(-\int_0^t h_s ds\derecho)dt$$

El próximo proceder con la derivación del valor de un defaultable de bonos

$$\begin{align} &B(0,T) \\ =& \color{color fucsia}{\text{EV[no predeterminado escenario]}} + \color{blue}{\text{EV[default escenario]}} \\ =& E\left[\color{color fucsia}{\exp\left(-\int_0^T r_t dt\derecho)·\mathbf{1}_{\{T<\tau\}}} + \color{blue}{\int_0^T RR · \exp\left(-\int_0^t r_s ds\derecho) · P(t ≤ \tau < t+dt )} \right]\\ =& E\left[\color{color fucsia}{\exp\left(-\int_0^T r_t dt\derecho)·\exp\left(-\int_0^T h_t dt\derecho)} + \color{blue}{\int_0^T RR · \exp\left(-\int_0^t r_s ds\derecho) · h_t\exp\left(-\int_0^t h_s ds\derecho)dt} \derecho] \\ =& E\left[\color{color fucsia}{\exp\left(-\int_0^T (r_t+h_t) dt\derecho)} + \color{blue}{\int_0^T RR · h_t· \exp\left(-\int_0^\color{red}{t} (r_s+h_s) ds\derecho) \color{red}{dt}} \right] \end{align}$$

Me han derivado hasta aquí y ven que el problema es que yo no sé cómo integrar la parte azul, con el límite superior del interior de la integral como la integración de la variable del exterior integral (que he de color rojo para mayor claridad).

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El libro de texto proporcionan el resultado final como el siguiente, pero no estoy seguro de cómo aquellos que se derivan de mis pasos por encima de

Answer 1

Hay un par de mecanismos de recuperación de, por ejemplo, la recuperación de par (es decir, el nocional), la recuperación del tesoro (es decir, el valor de recuperación es una fracción constante de la equivalente defecto de bonos sin), y la recuperación de valor de mercado (es decir, una fracción de su pre-default valor de mercado). Aquí, su fórmula, que también se llama el Lando fórmula, supone la recuperación de valor de mercado de mecanismo.

Vamos a $V_t$ siendo el valor predeterminado en el tiempo $t$ del bono cupón cero con vencimiento $T$ y unidad de valor nominal (tenga en cuenta que $V_T=1$). Por otra parte, vamos $R$ ser la tasa de recuperación, de los pre-valor predeterminado $V_{\tau}$. Además, permitir a los $\tau$ ser el valor predeterminado de tiempo, $H_t=\pmb{1}_{\{\tau \leq t\}}$. Deje que $\mathscr{F}_t$ ser el mercado de la información en tiempo $t$ (que a grandes rasgos se incluye toda la información que el hecho de incumplimiento o de supervivencia). Por otra parte, dejar que $\mathscr{H}_t = \sigma(H_u,\, u \leq t)$ y $\mathscr{G}_t = \mathscr{F}_t \v \mathscr{H}_t$ ser el agrandamiento de la información. Aquí, podemos asumir que el tiempo predeterminado $\tau$ se define como el primer salto de tiempo de un proceso de Poisson homogéneo, donde la intensidad del proceso $\{h_t,\, t \ge 0\}$ es determinista, o de Cox proceso, donde la intensidad es estocástica (ver Bielecki y Rutkowski para más detalles).

En general, se asume que la $\mathscr{H}$-condición se cumple, es decir, $\mathscr{H}_t$ y $\mathscr{F}_{\infty}$ son independientes acondicionado en $\mathscr{F}_t$; en otras palabras, para cualquier $\mathscr{H}_t$-medible al azar de la variable $X$ y $\mathscr{F}_{\infty}$ medibles variable aleatoria $Y$, $$\begin{align*} E(XY\,|\,\mathscr{F}_t) = E(X\,|\,\mathscr{F}_t)E(Y\,|\,\mathscr{F}_t). \end{align*}$$

La otra clave de la fórmula a utilizar es la filtración de la conmutación de la fórmula (ver el libro de la Tasa de Interés de los Modelos de la Teoría y la Práctica): Para cualquier $\mathscr{G}_{\infty}$ medibles variable aleatoria $Y$, $$\begin{align*} E\left(\pmb{1}_{\{\tau > t\}}Y\,|\,\mathscr{G}_t\right) = \pmb{1}_{\{\tau > t\}}\frac{E\left(\pmb{1}_{\{\tau > t\}}Y\,|\,\mathscr{F}_t\derecho)}{E\left(\pmb{1}_{\{\tau > t\}}\,|\,\mathscr{F}_t\derecho)}.\etiqueta 1 \end{align*}$$

Entonces, por $0 \leq t < T$, $$\begin{align*} \pmb{1}_{\{\tau > t\}}V_{t} &= E\bigg(\pmb{1}_{\{\tau > T\}}e^{-\int_{t}^{T} r_s ds} + \pmb{1}_{\{t< \tau \le T\}} R\, V_{\tau}e^{-\int_{t}^{\tau} r_s ds} \, \big|\, \mathscr{G}_{t}\bigg) \\ &=\pmb{1}_{\{\tau > t\}} E\bigg(e^{-\int_{t}^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_{t}^{T}R\, V_{u}h_u e^{-\int_{t}^{u} (r_s+h_s) ds} du \, \big|\, \mathscr{F}_{t}\bigg) \tag 2 \\ &=\pmb{1}_{\{\tau > t\}} e^{\int_0^{t} (r_s+h_s) ds} E\bigg(e^{-\int_0^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_{t}^{T}R\, V_{u} h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du \, \big|\, \mathscr{F}_{t}\bigg). \nonumber \end{align*}$$ Aquí, el $\mathscr{H}$-condición y la filtración de la conmutación de la fórmula se emplea en la derivación de $(2)$.

Vamos $$\begin{align*} M_t = E\bigg(e^{-\int_0^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_0^{T}R\, V_{u}h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du \, \big|\, \mathscr{F}_t\bigg). \end{align*}$$ Entonces, $M_t$ es una martingala. Por otra parte, $$\begin{align*} V_t = e^{\int_0^t (r_s+h_s) ds}\bigg(M_t - \int_0^{t} R\,V_{u}h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du \bigg). \end{align*}$$ Por el lema de Ito, $$\begin{align*} d\Big(e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t \Big) = e^{\int_0^t R\, h_s ds} dM_t. \end{align*}$$ Desde $M_t$ es una martingala, $e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t$ también es una martingala más de $[0, T]$. Entonces, para cualquier $0\le t \le de u\le T$, $$\begin{align*} e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t = E\Big(e^{-\int_0^u (r_s+(1-R)h_s) ds} V_u \, \big|\, \mathscr{F}_t \Big). \end{align*}$$ En particular, $$\begin{align*} V_0 = E\a la izquierda(e^{-\int_0^{T} (r_s+(1-R)h_s) ds}\derecho). \end{align*}$$

Answer 2

Es difícil para mí entender exactamente lo que usted está pidiendo, pero voy a tratar de responder. Si mi respuesta pierde la marca por favor aclarar exactamente que es lo que no se entiende y lo intentaré de nuevo.

Tenemos $$\begin{aligned} P(\tau \leq t + dt \vert \tau > t) &= \frac{P(t < \tau \leq t+dt)}{P(\tau > t)} \\ &= 1 - \exp \bigg(\int_t^{t+dt} h_u du \bigg) \\ &\aprox h_tdt \end{aligned}$$

Donde el approxomation proviene de la expansión de Taylor de $e$ (la sugerencia de siempre).

Además (a partir de la definición de la hazard rate), $$P(\tau > t) = \exp\bigg( -\int_0^t h_u du \bigg)$$

¿Es suficiente? Tal vez usted puede trabajar fuera de aquí.