Hay un par de mecanismos de recuperación de, por ejemplo, la recuperación de par (es decir, el nocional), la recuperación del tesoro (es decir, el valor de recuperación es una fracción constante de la equivalente defecto de bonos sin), y la recuperación de valor de mercado (es decir, una fracción de su pre-default valor de mercado). Aquí, su fórmula, que también se llama el Lando fórmula, supone la recuperación de valor de mercado de mecanismo.
Vamos a $V_t$ siendo el valor predeterminado en el tiempo $t$ del bono cupón cero con vencimiento $T$ y unidad de valor nominal (tenga en cuenta que $V_T=1$). Por otra parte, vamos $R$ ser la tasa de recuperación, de los pre-valor predeterminado $V_{\tau}$. Además, permitir a los $\tau$ ser el valor predeterminado de tiempo, $H_t=\pmb{1}_{\{\tau \leq t\}}$. Deje que $\mathscr{F}_t$ ser el mercado de la información en tiempo $t$ (que a grandes rasgos se incluye toda la información que el hecho de incumplimiento o de supervivencia). Por otra parte, dejar que $\mathscr{H}_t = \sigma(H_u,\, u \leq t)$ y $\mathscr{G}_t = \mathscr{F}_t \v \mathscr{H}_t$ ser el agrandamiento de la información. Aquí, podemos asumir que el tiempo predeterminado $\tau$ se define como el primer salto de tiempo de un proceso de Poisson homogéneo, donde la intensidad del proceso $\{h_t,\, t \ge 0\}$ es determinista, o de Cox proceso, donde la intensidad es estocástica (ver Bielecki y Rutkowski para más detalles).
En general, se asume que la $\mathscr{H}$-condición se cumple, es decir, $\mathscr{H}_t$ y $\mathscr{F}_{\infty}$ son independientes acondicionado en $\mathscr{F}_t$; en otras palabras, para cualquier $\mathscr{H}_t$-medible al azar de la variable $X$ y $\mathscr{F}_{\infty}$ medibles variable aleatoria $Y$,
\begin{align*}
E(XY\,|\,\mathscr{F}_t) = E(X\,|\,\mathscr{F}_t)E(Y\,|\,\mathscr{F}_t).
\end{align*}
La otra clave de la fórmula a utilizar es la filtración de la conmutación de la fórmula (ver el libro de la Tasa de Interés de los Modelos de la Teoría y la Práctica): Para cualquier $\mathscr{G}_{\infty}$ medibles variable aleatoria $Y$,
\begin{align*}
E\left(\pmb{1}_{\{\tau > t\}}Y\,|\,\mathscr{G}_t\right) = \pmb{1}_{\{\tau > t\}}\frac{E\left(\pmb{1}_{\{\tau > t\}}Y\,|\,\mathscr{F}_t\derecho)}{E\left(\pmb{1}_{\{\tau > t\}}\,|\,\mathscr{F}_t\derecho)}.\etiqueta 1
\end{align*}
Entonces, por $0 \leq t < T$,
\begin{align*}
\pmb{1}_{\{\tau > t\}}V_{t} &= E\bigg(\pmb{1}_{\{\tau > T\}}e^{-\int_{t}^{T} r_s ds} + \pmb{1}_{\{t< \tau \le T\}} R\, V_{\tau}e^{-\int_{t}^{\tau} r_s ds} \, \big|\, \mathscr{G}_{t}\bigg) \\
&=\pmb{1}_{\{\tau > t\}} E\bigg(e^{-\int_{t}^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_{t}^{T}R\, V_{u}h_u e^{-\int_{t}^{u} (r_s+h_s) ds} du \, \big|\, \mathscr{F}_{t}\bigg) \tag 2 \\
&=\pmb{1}_{\{\tau > t\}} e^{\int_0^{t} (r_s+h_s) ds} E\bigg(e^{-\int_0^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_{t}^{T}R\, V_{u} h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du \, \big|\, \mathscr{F}_{t}\bigg). \nonumber
\end{align*}
Aquí, el $\mathscr{H}$-condición y la filtración de la conmutación de la fórmula se emplea en la derivación de $(2)$.
Vamos
\begin{align*}
M_t = E\bigg(e^{-\int_0^{T} (r_s+h_s) ds} + \int_0^{T}R\, V_{u}h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du \, \big|\, \mathscr{F}_t\bigg).
\end{align*}
Entonces, $M_t$ es una martingala. Por otra parte,
\begin{align*}
V_t = e^{\int_0^t (r_s+h_s) ds}\bigg(M_t - \int_0^{t} R\,V_{u}h_u e^{-\int_0^{u} (r_s+h_s) ds} du \bigg).
\end{align*}
Por el lema de Ito,
\begin{align*}
d\Big(e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t \Big) = e^{\int_0^t R\, h_s ds} dM_t.
\end{align*}
Desde $M_t$ es una martingala, $e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t$ también es una martingala más de $[0, T]$. Entonces, para cualquier $0\le t \le de u\le T$,
\begin{align*}
e^{-\int_0^t (r_s+(1-R)h_s) ds} V_t = E\Big(e^{-\int_0^u (r_s+(1-R)h_s) ds} V_u \, \big|\, \mathscr{F}_t \Big).
\end{align*}
En particular,
\begin{align*}
V_0 = E\a la izquierda(e^{-\int_0^{T} (r_s+(1-R)h_s) ds}\derecho).
\end{align*}
