Vanila Opción de auto financiación mediante Acciones como numeraire

Question

Estoy tratando de ver cómo la esencia de vainilla, la llamada opción puede ser visto como autofinanciación mediante el caldo a medida que el numeraire. El caso de la Fianza como numeraire es bastante sencilla y se puede encontrar en Wilmott del FAQ, por ejemplo.

Suponemos que bajo el mundo real probabilidad de medir

$$ dS=S(\mu dt + \sigma dW)\\ dB=B rdt $$

Es bien sabido que en virtud de la Stock como numeraire podemos obtener la opción de llamada como

$$ \frac{C_t}{S_t} = E_{\mathbb S,t} [ \frac{S_T-K}{S_T} \Theta(S_T-K) ] $$

donde bajo la medida $\mathbb S$ tenemos

$$ dS= S( (r+ \sigma^2) dt + \sigma dW_S) \\ dB= B r dt $$ lo que da $dW_S = dW + \frac{\mu - r- \sigma^2}{\sigma} dt$. Específicamente en virtud de esta medida $\frac{B}{S}$ es una Martingala

$$ d(\frac{B}{S})= \sigma \frac{B}{S} dW_S $$

Mi pregunta es que debo ser capaz de ver esto como un auto de financiación de la cartera, pero no puedo. Estoy seguro de que estoy cometiendo un error, pero no la encuentro. Hago lo siguiente (yo suprimir el tiempo subíndice en la siguiente)

A partir de la Martingala representación teorema tenemos $$ d(\frac{C}{S})=\alpha d( \frac{B}{S}) $$ para algunos pre-visible proceso $\alpha$.

Esto puede ser escrito como

$$ dC = \alpha dB + \frac{ C-\alpha B}{S} dS - \frac{ C-\alpha B}{S^2} dS^2 $$

Es la última pieza que no entiendo. Sin ella tendríamos una auto-financiado de la cartera. Yo podría intentar escribir en términos de $dB,$ pero todavía no me auto-financiado de la cartera. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

He encontrado el error que estaba haciendo. Es el mismo error que cometí una variante de este problema hace unos dos años y Quantuple respondió. Estoy dando la respuesta correcta para completar.

A partir de la Martingala representación teorema tenemos

$$ d(\frac{C}{S}) = \alpha d (\frac{B}{S}) $$

Ahora el LHS es

$$ LHS = \frac{dC}{S} - \frac{Cd}{S^2} + \frac{Cd^2}{S^3} - \color{red}{\frac{dCdS}{S^2}} $$

Me faltaba el rojo término en mi derivación. Estamos manteniendo términos sólo hasta fin de $dt$ y la pieza que contribuye desde los $dC$ en el último término será de $\mathcal O(dW)$.

El lado derecho es

$$ \alpha ( \frac{dB}{S} - \frac{Bd}{S^2} + \frac{BdS^2}{S^3}) $$

y no hay ningún término equivalente para el rojo porque $dB$ ha no estocástica de la pieza, por lo tanto, un término que no aparece en el orden de $dt$.

De estos uno se

$$ dC= \alpha dB + (C-\alpha B) \frac{dS}{S} $$

haciendo $C$ a con financiación propia estrategia.